Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai của bình phương

1. Căn thức bậc hai

Với \(A\) là một biểu thức đại số, ta gọi \(\sqrt{A}\) là một căn thức bậc hai của \(A\); còn \(A\) được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

Trong thực hành toán học, ta gặp rất nhiều trường hợp phải lấy căn bậc hai của một biểu thức.

Ví dụ: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB=4\), \(BC=x\). Viết biểu thức của \(AC\)?

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: \(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2=x^2-4^2=x^2-16\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{x^2-16}\).

Ta gọi \(x^2-16\) là biểu thức lấy căn, còn \(\sqrt{x^2-16}\) là căn thức bậc hai của \(x^2-16\).​

\(\sqrt{A}\) xác định (hay có nghĩa) khi \(A\) có giá trị không âm.

Ví dụ 1: \(\sqrt{x^2-16}\) xác định khi \(x^2-16\ge0\Leftrightarrow x^2\ge16\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-4\\x\ge4\end{matrix}\right.\).

Ví dụ 2: \(\dfrac{\sqrt{x-2}}{5-2x}\) xác định khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-2\ge0\\5-2x\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x\ne\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\).

2. Hằng đẳng thức \(\sqrt{A^2}=\left|A\right|\)

Với mọi số \(a\), ta luôn có: \(\sqrt{a^2}=\left|a\right|\).

Dễ dàng chứng minh định lí trên như sau: 

Với \(a\ge0\Rightarrow\left|a\right|=a\), nên \(\left(\left|a\right|\right)^2=a^2\).

Với \(a< 0\Rightarrow\left|a\right|=-a\), nên \(\left(\left|a\right|\right)^2=\left(-a\right)^2=a^2\).

Do đó, \(\left(\left|a\right|\right)^2=a^2\) với mọi \(a\) \(\Rightarrow\) \(\left|a\right|\) là căn bậc hai số học của \(a^2\).

Vậy \(\sqrt{a^2}=\left|a\right|\) với mọi \(a\).

Tổng quát, với \(A\) là một biểu thức, ta có:

• \(\sqrt{A^2}=A\) nếu \(A\ge0\).
• \(\sqrt{A^2}=-A\) nếu \(A< 0\).

Ví dụ: 

• \(\sqrt{14^2}=\left|14\right|=14;\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2}=\left|-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}\).
• \(\sqrt{\left(4-\sqrt{11}\right)2}=\left|4-\sqrt{11}\right|=4-\sqrt{11}\) (do \(4>\sqrt{11}\Rightarrow4-\sqrt{11}>0\));
• \(\sqrt{\left(2-\sqrt{6}\right)^2}=\left|2-\sqrt{6}\right|=\sqrt{6}-2\) (do \(2< \sqrt{6}\Rightarrow2-\sqrt{6}< 0\));...

Ví dụ 2: Với \(x\ge1\): \(\sqrt{\left(x-1\right)^2}=\left|x-1\right|=x-1\) (do \(x\ge1\Rightarrow x-1\ge0\));

Với \(x< 0\): \(\sqrt{x^6}=\sqrt{\left(x^3\right)^2}=\left|x^3\right|=-x^3\) (do \(x< 0\Rightarrow x^3< 0\Rightarrow\left|x^3\right|=-x^3\));...

Ví dụ 3: Tìm \(x\) biết \(\sqrt{4x^2}=8\)?

Ta có \(\sqrt{4x^2}=8\Rightarrow\sqrt{\left(2x\right)^2}=8\Rightarrow\left|2x\right|=8\Rightarrow\left|x\right|=4\Rightarrow x=\pm4\).

Ví dụ 4: Tìm \(x\) biết \(\sqrt{\left(2x+3\right)^2}=\left|-7\right|\)?

Ta có: \(\sqrt{\left(2x+3\right)^2}=\left|-7\right|\Rightarrow\left|2x+3\right|=7\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+3=7\\2x+3=-7\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-5\end{matrix}\right.\).

Ví dụ 5: Phân tích các đa thức \(A=x^2-7\); \(B=x^2-2\sqrt{5}x+5\) thành nhân tử?

Ta có: \(A=x^2-7=x^2-\left(\sqrt{7}\right)^2=\left(x-\sqrt{7}\right)\left(x+\sqrt{7}\right)\);

\(B=x^2-2\sqrt{5}x+5=x^2-2\sqrt{5}x+\left(\sqrt{5}\right)^2=\left(x-\sqrt{5}\right)^2\).