\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\)
\(\Leftrightarrow a+2\sqrt{ab}+b\ge a+b\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}\ge0\) (Luôn đúng vì a ≥0; b≥0)
Dấu ''='' xảy ra khi a=b=0
chứng minh các bát đẳng thức sau
a)Cho a>0 chứng minh rằng \(a+\dfrac{1}{a}\)≥2
b)\(\dfrac{a^2+a+2}{\sqrt{a^2+a+1}}\)≥2
c)\(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}< \dfrac{1}{2\sqrt{a}}\)
Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng
\(\sum\dfrac{a\sqrt{a}}{1+a}\ge\dfrac{3\sqrt{abc}}{1+\sqrt[3]{abc}}\)
Với A\(\ge\)0 , B>0
Chứng Minh: \(\sqrt{\dfrac{A}{B}}=\dfrac{1}{\left|B\right|}.\sqrt{AB}\)
cho a,b,c>0 thỏa mãn abc\(\ge1\)
chứng minh rằng
\(\dfrac{a}{\sqrt{b+\sqrt{ac}}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+\sqrt{ab}}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+\sqrt{bc}}}\ge\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)
b1 cho a,b>0 cmr
a) \(a+b\ge2\sqrt{a}.\sqrt{b}\)
b)\(a+b+c\ge\sqrt{a}.\sqrt{b}+\sqrt{a}.\sqrt{c}+\sqrt{b}.\sqrt{c}\)
Cho a≥25 b ≥36 c≥ 49 và a+ b + c= 125 . Tìm GTNN của H =\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
Cho a,b,c>0 và thỏa mãn \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=\dfrac{7-abc}{\sqrt{2}}\)
Chứng minh rằng \(M=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\)
cho a,b>1. chứng minh rằng
\(\dfrac{6}{a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}}+\sqrt{3ab+4}\ge\dfrac{11}{2}\)
Câu 1: Rút gọn biểu thức
a) \(N=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}\)
b) \(M=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\)
Câu 2:
a) Cho a > 0. Chứng minh: \(a+\dfrac{1}{a}\ge2\)
b) Cho \(a\ge0\) , \(b\ge0\) . Chứng minh: \(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
c) Cho a, b > 0. Chứng minh: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{b}{\sqrt{a}}\)
d) Chứng minh: \(\dfrac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\) với mọi a
