Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :
\(S_n=1^3+2^3+3^3+......+n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
mn giải hộ e vs ạ
Chứng minh vs \(\forall n\) nguyên dương thì \(S_n=1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
Ta có: \(\sqrt{a^3+b^3+c^3}=\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}=a+b+c\)(với a,b,c dương)
=>với mọi n dương ta cũng viết biểu thức đc dưới dạng:
\(S_n=\left(1+2+3+...+n\right)^2\)
Đặt \(A=1+2+3+....+n\)
Tổng A có số số hạng theo n là:
\(\left(n-1\right):1+1=n\)(số)
Tổng A theo n là:
\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\).Thay A vào ta có:
\(\Rightarrow S_n=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
Ta có công thức sau:
\(1+2+3+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
\(\Rightarrow\left(1+2+3+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\) (*)
\(\Leftrightarrow1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\) (1)
Cần chứng minh (1) đúng với mọi n dương
Với \(n=1;n=2\) thì đẳng thức đúng
Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\)
Nghĩa là: \(1^3+2^3+...+k^3=\left(1+2+...+k\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\)
Viết lại đẳng thức cần chứng minh \(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+...+k+k+1\right)^2\)(**)
Ta cũng có công thức tương tự (*)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(k+k\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3=\frac{\left(k^2+3k+2\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(k^2+3k+2\right)^2-\left(k^2+k\right)^2=4\left(k+1\right)^3\)
\(\Leftrightarrow4k^3+12k^2+12k+4=4\left(k+1\right)^3\)
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.
cám ơn cô cho em công thức này, bây giờ thi toán trắc nghiệm rùi, cm làm j cho hại não phải k cô? em hài cho vui thui
Với số tự nhiên n , \(n\ge3\)
Đặt \(S_n=\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)
Chứng minh rằng \(S_n< \frac{1}{2}\)
Ta co:
\(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1+n}< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n+1}.\sqrt{n}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Ap vào bài toan được
\(S_n=\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)
\(< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< \frac{1}{2}\)
iopdtg5 r4ytr'hfgo;hrt687y5t53434]\trvf;lkg
1 . Cho \(S_n=\frac{1^2-1}{1}+\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\) ( với \(n\inℕ\)và n > 1)
Chứng minh rằng \(S_n\) không là số nguyên
2 . Cho \(f\left(x\right)=ax^3+4x\left(x^2-1\right)+8\) và \(g\left(x\right)=x^3+4x\left(bx+1\right)+c-3\)trong đó a , b , c là hằng số . Xác định a , b , c để \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\)
a)
Ta có: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\)
\(< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
\(=1-\frac{1}{n-1}< 1\)
=>\(0< \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1\)
=> \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\) không phải là số nguyên
mà n -1 là số nguyên
=> \(S_n=\frac{1^2-1}{1}+\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)
\(=n-1-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)không là số nguyên
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:
\(5n=1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)
(quy nạp)
\(1^2+2^2+3^2+.......+n^2=1\times\left(2-1\right)+2\times\left(3-1\right)+.......+n\left(\left(n+1\right)-1\right)\)=\(\left(1.2+2.3+3.4+......+n\left(n+1\right)\right)-\left(1+2+3+.....+n\right)\)=\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)-0.1.2}{3}-\frac{n\left(n+1\right)}{2}=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)
sử dụng qui nạp:
1² + 2² + 3² + 4² + ...+ n² = \(\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) (*)
(*) đúng khi n= 1
giả sử (*) đúng với n= k, ta có:
1² + 2² + 3² + 4² + ...+ k² = \(\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\) (1)
ta cm (*) đúng với n = k +1, thật vậy từ (1) cho ta:
1² + 2² + 3² + 4² + ...+ k² + (k + 1)² = \(\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\) + (k + 1)²
= (k+1)\(\left(\frac{k\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)\right)\)= (k + 1)\(\frac{2k^2+k+6k+6}{6}\)
= (k + 1)\(\frac{2k^2+7k+6}{6}\) = (k + 1)\(\frac{2k^2+4k+3k+6}{6}\)
= (k + 1)\(\frac{2k\left(k+2\right)+3\left(k+2\right)}{6}\) = (k + 1)\(\frac{\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\)
vậy (*) đúng với n = k + 1, theo nguyên lý qui nạp (*) đúng với mọi n thuộc N*
Hồng Trinh đúng rồi nhưng mà dùng quy nạp cơ
Chứng minh với mọi n nguyên dương thì:
\(S_n=\left(n+1\right)\left(n+2\right)...\left(n+n\right)⋮2^n\)
\(S_n=\frac{1.2.3.4...n\left(n+1\right)\left(n+2\right)...2n}{1.2.3.4...n}\)
\(=\frac{1.3...\left(2n-1\right).2.4...\left(2n-2\right)2n}{1.2.3.4...n}\)
\(=\frac{1.3...\left(2n-1\right).2^n.1.2...n}{1.2...n}\)
\(=2^n.1.3...\left(2n-1\right)⋮2n\)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì \(n.\left(n+1\right).\left(n+2\right).\left(n+3\right)\) luôn luôn không thể là số lập phương.
P/S: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán hỗ trợ giúp đỡ em với ạ!
Em cám ơn nhiều lắm ạ!
lập phương hay chính phương thế bạn???
nếu là chính phương thì ntn nha
\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)
đặt \(t=n^2+3n\left(t\in Z^+\right)\)
phương trình thành:
\(t\left(t+2\right)=t^2+2t\)
vì \(t^2< t^2+2t< t^2+2t+1\)
hay \(t^2< t^2+2t< \left(t+1\right)^2\)
=> \(t^2+2t\) không thể là số chính phương
=>\(n\left(n+2\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\) luôn luôn không thể là số chính phương
cô ơi, cô là người hay cô là chó vậy ạ ?, bài tập thầy con soạn bao nhiêu công sức cô ăn cắp như con chó không thèm ghi nguồn rồi đăng lên đây, thầy con đã nói rồi mà cô vẫn cố tình nhai đi nhai lại mấy tháng nay, bẩn không bằng con chó cô ạ, cô làm như vậy là báo hại đến học sinh bọn con thôi ạ, cô làm ơn bỏ cái trò đó đi ạ
Với mọi số nguyên dương n,chứng minh rằng\(S_n=\left(3+\sqrt{5}\right)^n+\left(3-\sqrt{5}\right)^n\)
\(MN\perpÂB\), AH\(\perp BD\)
ta có: MN,AH là 2 đ/cao tgiac ANB cắt tại M nên \(MB\perp AN\)
Gọi giao điểm MB,AN là K \(\Rightarrow\widehat{BKN}=90\Rightarrow\widehat{NBM}+\widehat{ANB}=90\Leftrightarrow\widehat{BNI}+\widehat{ANB}=90\Leftrightarrow\widehat{ANI}=90\)Vì BM//DI nên góc NBM=BNI( SLT)
Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì:\(5^n\left(5^n+1\right)-6^n\left(3^n+2^n\right)⋮91\)
Ez nhé
\(A=5^n\left(5^n+1\right)-6^n\left(3^n+2^n\right)=25^n+5^n-18^n-12^n\)
Ta có : \(A=\left(25^n-18^n\right)-\left(12^n-5^n\right)⋮7\forall n\in N\)
\(A=\left(25^n-12^n\right)-\left(18^n-5^n\right)⋮13\forall n\in Z\)
Mà \(\left(7;13\right)=1\) nên \(A⋮91\) (đpcm)
Với số tự nhiên n, \(n\ge3\). Đặt \(S_n=\dfrac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\dfrac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\dfrac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\). Chứng minh: \(S_n< \dfrac{1}{2}\)