`P=x^3/(x+y)+y^3/(y+z)+z^3/(z+x)`

`=x^4/(x^2+xy)+y^4/(y^2+yz)+z^4/(z^2+zx)`

Ad bđt cosi-swart:

`P>=(x^2+y^2+z^2)^2/(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)`

Mà `xy+yz+zx<=x^2+y^2+z^2)`

`=>P>=(x^2+y^2+z^2)^2/(2(x^2+y^2+z^2))=(x^2+y^2+z^2)/2=3/2`

Dấu "=" xảy ra khi `x=y=z=1`

`Q=(x^3+y^3)/(x+2y)+(y^3+z^3)/(y+2z)+(z^3+x^3)/(z+2x)`

`Q=(x^3/(x+2y)+y^3/(y+2z)+z^3/(z+2x))+(y^3/(x+2y)+z^3/(y+2z)+x^3/(z+2x))`

`Q=(x^4/(x^2+2xy)+y^4/(y^2+2yz)+z^4/(z^2+2zx))+(y^4/(xy+2y^2)+z^4/(yz+2z^4)+x^4/(xz+2x^2))`

Áp dụng BĐT cosi-swart ta có:

`Q>=(x^2+y^2+z^2)^2/(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)+(x^2+y^2+z^2)^2/(2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx))`

Mà`xy+yz+zx<=x^2+y^2+z^2`

`=>Q>=(x^2+y^2+z^2)^2/(3(x^2+y^2+z^2))+(x^2+y^2+z^2)^2/(3(x^2+y^2+z^2))=(2(x^2+y^2+z^2)^2)/(3(x^2+y^2+z^2))=(2(x^2+y^2+z^2))/3=2`

Dấu "=" xảy ra khi `x=y=z=1.`

\(P\ge\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3y^3}}}{xy}+\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{y^3z^3}}}{yz}+\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{z^3x^3}}}{zx}\)

\(P\ge\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy.yz.zx}}}=3\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Ta có bất đẳng thức sau \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0.\)

Do đó:

\(P=\sum\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\sum\dfrac{\sqrt{xyz+xy\left(x+y\right)}}{xy}\)

\(=\sqrt{x+y+z}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{yz}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{zx}}}=3\sqrt{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1.$

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(P=\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\)

\(\ge\dfrac{\sqrt{3xy}}{xy}+\dfrac{\sqrt{3yz}}{yz}+\dfrac{\sqrt{3zx}}{zx}\)

\(=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\)

\(\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{xyz}}=3\sqrt{3}\)

\(minP=3\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y=z\)

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$\frac{1}{x+1}+\frac{x+1}{4}\geq 1$

$\frac{1}{y+1}+\frac{y+1}{4}\geq 1$

$\frac{1}{1+z}+\frac{1+z}{4}\geq 1$

Cộng theo vế:
$A+\frac{x+y+z+3}{4}\geq 3$

$\Rightarrow A\geq 3-\frac{x+y+z+3}{4}\geq 3-\frac{3+3}{4}=\frac{3}{2}$

Vậy $A_{\min}=\frac{3}{2}$ khi $x=y=z=1$

Dự đoán điểm rơi \(x=y=z=1\)

Khi đó \(\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\) và \(1+x=1+1=2\)

Ta cần ghép Cô-si  \(\dfrac{1}{1+x}\) với \(k\left(1+x\right)\) sao cho đảm bảo đấu "=" xảy ra khi \(x=1\)

Đồng thời khi Cô-si 2 số dương trên thì dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{1}{1+x}=k\left(1+x\right)\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}=k.2\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{4}\)

Như vậy, áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\dfrac{1}{1+x}\) và \(\dfrac{1+x}{4}\), ta có \(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1+x}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{1+x}.\dfrac{1+x}{4}}=1\)

Tương tự, ta có \(\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1+y}{4}\ge1\) và \(\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{1+z}{4}\ge1\)

Cộng vế theo vế của các BĐT vừa tìm được, ta có \(A+\dfrac{x+y+z+3}{4}\ge3\)\(\Leftrightarrow A\ge3-\dfrac{x+y+z+3}{4}\)

Lại có \(x+y+z\le3\) nên \(A\ge3-\dfrac{x+y+z+3}{4}\Leftrightarrow A\ge3-\dfrac{3+3}{4}=\dfrac{3}{2}\)

Vậy GTNN của A là \(\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\)

Đề bài sai, biểu thức này ko có min

\(\left(3^x;3^y;3^z\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a;b;c>0\\ab+bc+ca=abc\end{matrix}\right.\)

BĐT cần chứng minh trở thành:

\(\dfrac{a^2}{a+bc}+\dfrac{b^2}{b+ca}+\dfrac{c^2}{c+ab}\ge\dfrac{a+b+c}{4}\)

Thật vậy, ta có:

\(VT=\dfrac{a^3}{a^2+abc}+\dfrac{b^3}{b^2+abc}+\dfrac{c^3}{c^2+abc}\)

\(VT=\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

Áp dụng AM-GM:

\(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge\dfrac{3a}{4}\)

Làm tương tự với 2 số hạng còn lại, cộng vế với vế rồi rút gọn, ta sẽ có đpcm

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$A\geq \frac{9}{x+2+y+2+z+2}=\frac{9}{x+y+z+6}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(x^2+y^2+z^2)(1+1+1)\geq (x+y+z)^2$

$\Rightarrow 9\geq (x+y+z)^2\Rightarrow x+y+z\leq 3$

$\Rightarrow A\geq \frac{9}{x+y+z+6}\geq \frac{9}{3+6}=1$
Vậy $A_{\min}=1$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

Ta có nhận xét sau:

     \(\dfrac{x+2}{x^3\left(y+z\right)}=\dfrac{1}{x^2\left(y+z\right)}+\dfrac{2}{x^3\left(y+z\right)}=\dfrac{yz}{zx+xy}+\dfrac{2\left(yz\right)^2}{zx+xy}\)

Tương tự với các phân thức còn lại

Ta đặt:

     \(\left\{{}\begin{matrix}a=xy\\b=yz\\c=zx\end{matrix}\right.\)

     \(\Rightarrow abc=1\) và \(a,b,c>0\)

Biểu thức P trở thành:

     \(P=\Sigma_{cyc}\dfrac{a}{b+c}+2\Sigma_{cyc}\dfrac{a^2}{b+c}\)

Dễ thấy:

     \(\Sigma_{cyc}\dfrac{a}{b+c}\ge\dfrac{3}{2}\) (Nesbit)

     \(\Sigma_{cyc}\dfrac{a^2}{b+c}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Do đó:

     \(P\ge\dfrac{3}{2}+2.\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)