Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Minz Ank

Cho x,y,z > 0 và x^2 + y^2 + z^2 = 3. Tìm min của:

\(P=\dfrac{x^3}{x+y}+\dfrac{y^3}{y+z}+\dfrac{z^3}{z+x} \)

 \(Q=\dfrac{x^3+y^3}{x+2y}+\dfrac{y^3+z^3}{y+2z}+\dfrac{z^3+x^3}{z+2x}\)

Yeutoanhoc
2 tháng 3 2023 lúc 21:08

`P=x^3/(x+y)+y^3/(y+z)+z^3/(z+x)`

`=x^4/(x^2+xy)+y^4/(y^2+yz)+z^4/(z^2+zx)`

Ad bđt cosi-swart:

`P>=(x^2+y^2+z^2)^2/(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)`

Mà `xy+yz+zx<=x^2+y^2+z^2)`

`=>P>=(x^2+y^2+z^2)^2/(2(x^2+y^2+z^2))=(x^2+y^2+z^2)/2=3/2`

Dấu "=" xảy ra khi `x=y=z=1`

`Q=(x^3+y^3)/(x+2y)+(y^3+z^3)/(y+2z)+(z^3+x^3)/(z+2x)`

`Q=(x^3/(x+2y)+y^3/(y+2z)+z^3/(z+2x))+(y^3/(x+2y)+z^3/(y+2z)+x^3/(z+2x))`

`Q=(x^4/(x^2+2xy)+y^4/(y^2+2yz)+z^4/(z^2+2zx))+(y^4/(xy+2y^2)+z^4/(yz+2z^4)+x^4/(xz+2x^2))`

Áp dụng BĐT cosi-swart ta có:

`Q>=(x^2+y^2+z^2)^2/(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)+(x^2+y^2+z^2)^2/(2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx))`

Mà`xy+yz+zx<=x^2+y^2+z^2`

`=>Q>=(x^2+y^2+z^2)^2/(3(x^2+y^2+z^2))+(x^2+y^2+z^2)^2/(3(x^2+y^2+z^2))=(2(x^2+y^2+z^2)^2)/(3(x^2+y^2+z^2))=(2(x^2+y^2+z^2))/3=2`

Dấu "=" xảy ra khi `x=y=z=1.`


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Trần Lam Trúc
Xem chi tiết
Duong Thi Nhuong TH Hoa...
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Nguyễn Trần Lam Trúc
Xem chi tiết
Lương Huyền Ngọc
Xem chi tiết
Hồ Lê Thiên Đức
Xem chi tiết
PHẠM NGUYỄN MINH HIỂN
Xem chi tiết
Nữ hoàng sến súa là ta
Xem chi tiết
Nguyễn Trung Hiếu
Xem chi tiết