Vì đây là 7 số liên tiếp

nên A chia hết cho 7!

=>A chia hết cho 210

$A=n\left[n^2{\left(n^2-7\right)}^2-36\right]=n\left[{\left(n^3-7n\right)}^2-36\right]$

$=n\left(n^3-7n-6\right)\left(n^3-7n+6\right)$

$=n\left(n-3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)\left(n+3\right)$

$\Rightarrow A$ là tích 7 số nguyên liên tiếp nên A luôn chia hết cho 7

dê

A = [ n³(n²-7)²-36n ] ⋮ 7 với ∀n ϵ Z

Ta có:

\(A=n^3\left(n^2-7\right)^2-36n\)

\(A=n^3\left(n^4-14n^2+49\right)-36n\)

\(A=n^7-14n^5+49n^3-36n\)

\(A=n^7+12n^5+36n^3-25n^5-n^5-12n^3-36n+25n^3\)

\(A=n^3\left(n^4+12n^2+36-25n^2\right)-n\left(n^4+12n^2+36-25n^2\right)\)

\(A=\left(n^3-n\right)\left(n^4+12n^2+36-25n^2\right)\)

\(A=n\left(n^2-1\right)\left(n^4+12n^2+36-25n^2\right)\)

\(A=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left[\left(n^2+6\right)^2-\left(5n\right)^2\right]\)

\(A=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-5n+6\right)\left(n^2+5n+6\right)\)

\(A=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

\(A=\left(n-3\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)⋮7\)

*Tích 7 số nguyên liên tiếp chia hết cho 7.

Đặt \(n^3\left(n^2-7\right)^2-36n=A\)

Ta có :

\(n^3\left(n^2-7\right)^2-36n\)

\(=n\left[n^2\left(n^2-7\right)^2-36\right]\)

\(=n.\left[\left(n^3-7n\right)^2-6^2\right]\)

\(=n\left(n^3-7n-6\right)\left(n^3-7n+6\right)\)

\(=\left(n-3\right)\left(n-2\right)\left(n-2\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

Ta có \(A⋮3;5;7\) ( vì có \(\left(n-3\right)\left(n-2\right)\left(n-2\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\) là 7 số tự nhiên liên tiếp )

Mà 3; 5; 7 là đôi một nguyen tố cùng nhau

\(\Rightarrow A⋮3.5.7\Rightarrow A⋮105\)

Very easy!!! Bạn chỉ cần phân tích đa thức thành nhân tử là ok

Ta có: n³.(n²-7)² -36n = \(n^3.\left(n^4-14n^2+49\right)-36n\)

= \(n^7-14n^5+49n^3-36n\)

= \(n^7+12n^5+36n^3-25n^5-n^5-12n^3-36n+25n^3\)

= \(n^3\left(n^4+12n^2+36-25n^2\right)-n\left(n^4+12n^2+36-25n^2\right)\)

= \(\left(n^3-n\right)\left(n^4+12n^2+36-25n^2\right)\)

= \(n\left(n^1-1\right)\left[\left(n^4+12n^2+36\right)-25n^2\right]\)

= \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left[\left(n^2+6\right)^2-\left(5n\right)^2\right]\)

= \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-5n+6\right)\left(n^2+5n+6\right)\)

= \(n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\) (*)

Mà (*) là tích của số nguyên liên tiếp => (*) \(⋮\) 7! ( Đây là tính chất nhé)

=> (*) \(⋮\) 5040 => (*) \(⋮\) 105 => đpcm

P/s : Bạn có thể xét tính chẳn lẻ của n cũng đc nhưng lâu hơn

\(\Rightarrow A=2^{2n}-1=4^n-1=\left(4-1\right)\left(4^{n-1}+4^{n-2}+...+4+1\right)=3\cdot\left(4^{n-1}+4^{n-2}+...+4+1\right)⋮3\forall n\in N\)

câu b là n^2 + n + 6 không chia hết cho 4

Chắc vậy

\(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\)(*)

Với \(n=1;n=2\) (*) đúng

Giả sử (*) đúng với n=k khi đó (*) thành

\(1^3+2^3+...+k^3=\left(1+2+...+k\right)^2\)

Thật vậy giả sử (*) đúng với n=k+1 khi đó (*) thành

\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+...+k+k+1\right)^2\left(1\right)\)

Cần chứng minh (1) đúng, mặt khác ta lại có

\(\left(1+2+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2=\frac{\left(n^2+n\right)^2}{4}\)

Đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\(\frac{\left(k^2+k\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3=\frac{\left(k^2+3k+2\right)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow4k^3+12k^2+12k+4=4\left(k+1\right)^3\)

\(\Leftrightarrow4\left(k+1\right)^3=4\left(k+1\right)^3\)

Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm

Vậy \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)

Ta có : \(1^3+2^3+3^3+....+n^3\)

=\(\left(1+2+3+4+...+n\right)^2\)

=\(\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2\) (đpcm)