\(2x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^2}{4}=4\)

\(\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}+x^2+\dfrac{y^2}{4}=4\left(1\right)\)

Theo Bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số \(\left(x^2;\dfrac{1}{x^2}\right);\left(x^2;\dfrac{y^2}{4}\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+\dfrac{1}{x^2}\ge2\\x^2+\dfrac{y^2}{4}\ge2.\dfrac{1}{2}xy\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+\dfrac{1}{x^2}\ge2\\x^2+\dfrac{y^2}{4}\ge xy\end{matrix}\right.\)

Từ \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}+x^2+\dfrac{y^2}{4}\ge2+xy\)

\(\Leftrightarrow4\ge2+xy\)

\(\Leftrightarrow xy\le2\left(x;y\inℤ\right)\)

\(\Leftrightarrow Max\left(xy\right)=2\)

Dấu "=" xảy ra khi

\(xy\in\left\{-1;1;-2;2\right\}\)

\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;-2\right);\left(1;2\right);\left(-2;-1\right);\left(2;1\right)\right\}\) thỏa mãn đề bài

Ta thấy \(2x^2< 4\) \(\Leftrightarrow x^2< 2\) \(\Leftrightarrow x^2=1\) (do \(x\ne0\))

Thế vào pt đề bài, ta có \(3+\dfrac{y^2}{4}=4\) 

\(\Leftrightarrow\dfrac{y^2}{4}=1\)

\(\Leftrightarrow y^2=4\)

\(\Leftrightarrow y=\pm2\)

Vậy, các cặp số (x; y) thỏa ycbt là \(\left(1;2\right);\left(-1;-2\right);\left(1;-2\right);\left(-1;2\right)\)

a

\(\frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{3}{7}\)

\(\Leftrightarrow3x^2-3xy+3y^2=7x+7y\)

\(\Leftrightarrow3x^2+\left(-3y-7\right)x+3y^2-7y=0\)

Để phương trình theo nghiệm x có nghiệm thì:

\(\Delta=\left(-3y-7\right)^2-4.3.\left(3y^2-7y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow0\le y\le5\)

Thế lần lược các giá trị y cái nào làm cho x nguyên thì nhận.

x^3-y^2=xy
=>(1) x(x^2-y)=y^2
x,y là các số tự nhiên => x^2-y là ước của y^2 => x^2 là ước của y^2 => x là ước của y => y=ax
=>(2) x^3=y(x+y)
=> x^3=ax(x+ax)=x^2.a.(a+1)
=> x=a(a+1)
Vậy x là tích 2 số tự nhiên liên tiếp; x,y có 2 chữ số.
a=1 => x=2 (loại)
a=2 => x=6 (loại)
a=3 => x=12 => y=36 (chọn)
a=4 => x=20 => y=80 (chọn)
a=5 => x=30 => y=150 (loại)
a>=5 thì y>100 => (loại)

Vậy (x,y)=(12,36) hoặc (x,y)=(20,80)

x^3-y^2=xy
=>(1) x(x^2-y)=y^2
x,y là các số tự nhiên => x^2-y là ước của y^2 => x^2 là ước của y^2 => x là ước của y => y=ax
=>(2) x^3=y(x+y)
=> x^3=ax(x+ax)=x^2.a.(a+1)
=> x=a(a+1)
Vậy x là tích 2 số tự nhiên liên tiếp; x,y có 2 chữ số.
a=1 => x=2 (loại)
a=2 => x=6 (loại)
a=3 => x=12 => y=36 (chọn)
a=4 => x=20 => y=80 (chọn)
a=5 => x=30 => y=150 (loại)
a>=5 thì y>100 => (loại)

Vậy (x,y)=(12,36) hoặc (x,y)=(20,80)

\(\dfrac{x}{7}+\dfrac{y}{41}+\dfrac{z}{49}=\dfrac{1000}{2009}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{287x+49y+41z}{2009}=\dfrac{1000}{2009}\)

\(\Leftrightarrow287x+49y+41z=1000\)

\(\Leftrightarrow41z=1000-287x-49y\le1000-287-49=664\) do \(x,y\) nguyên dương. (1)

Mặt khác ta cũng có \(1000\equiv6\left(mod7\right);287\equiv0\left(mod7\right);49\equiv0\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow1000-287x-49y\equiv6\left(mod7\right)\)

Mà \(41\equiv6\left(mod7\right)\Rightarrow z\equiv1\left(mod7\right)\) (2)

Từ (1) suy ra \(1\le z\le\dfrac{664}{41}\le16\) (3)

Từ (2),(3) suy ra \(z\in\left\{8;15\right\}\)

+) \(z=8\Leftrightarrow287x+49y=672\)

\(\Leftrightarrow41x+7y=96\)

Bằng phép thử ta nhận nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(2;2\right)\)

+) \(z=15\Leftrightarrow287x+49y=385\)

\(\Leftrightarrow41x+7y=55\)

Bằng phép thử ta nhận nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)

Vậy tập nghiệm nguyên dương của phương trình là \(\left(x;y;z\right)\in\left\{\left(2;2;8\right);\left(1;2;15\right)\right\}\)

Do vai trò của x,y  bình đẳng như nhau,giả sử \(x\ge y\),khi đó:

\(\frac{x+y}{x^2+y^2}=\frac{7}{25}\)

\(\Rightarrow7\left(x^2+y^2\right)=25\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow7x^2+7y^2=25x+25y\)

\(\Rightarrow7x^2-25x=25y-7y^2\)

\(\Rightarrow x\left(7x-25\right)=y\left(25-7y\right)\)

\(\Rightarrow7x-25\)và \(25-7y\)cùng dấu vì \(x,y\inℕ\)

Nếu \(\hept{\begin{cases}7x+25< 0\\25-7y< 0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< 4\\y< 4\end{cases}}\)(trái với giả sử)

Nếu \(\hept{\begin{cases}7x-25\ge0\\25-7y\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x\ge4,y< 4\)

Thử y là các số tự nhiên từ 0 đến 3 ta được \(x=4,y=3\)

Vậy các cặp số (x,y) cần tìm là:\(\left(3;4\right)\)và các hoán vị của chúng

\(\dfrac{x}{3}-\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow\dfrac{2}{y}=\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{2}\\\Rightarrow \dfrac{2}{y}=\dfrac{2x-3}{6}\\ \Rightarrow y\left(2x-3\right)=2\cdot6\\ \Rightarrow y\left(2x-3\right)=12\)

mà `y in ZZ;x in ZZ`

`=>y in ZZ;2x-3 in ZZ`

`=>y;2x-3` thuộc ước nguyên của `12`

`=>y;2x-3 in {+-1;+-2;+-3;+-4;+-6;+-12}`

Ta có bảng sau :

Vì `x;y in ZZ`

nên `(x;y)=(1;-1);(0;-3);(2;1);(3;3)`