\(\overrightarrow{AB}=\left(-a;b\right)\) ; \(\overrightarrow{MA}=\left(a-2;-1\right)\)

ABM thẳng hàng \(\Rightarrow b\left(a-2\right)=a\Rightarrow b=\frac{a}{a-2}\)

Do \(b>0\Rightarrow a>2\)

a/ \(S_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}.\frac{a^2}{a-2}=\frac{1}{2}\left(a-2+\frac{4}{a-2}+4\right)\ge\frac{1}{2}\left(2\sqrt{\frac{4\left(a-2\right)}{a-2}}+2\right)=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a-2\right)^2=4\Rightarrow a=4\Rightarrow b=2\)

\(\Rightarrow A\left(4;0\right);B\left(0;2\right)\)

b/ \(OA+OB=a+b=a+\frac{a}{a-2}=a+1+\frac{2}{a-2}\)

\(=a-2+\frac{2}{a-2}+3\ge2\sqrt{\frac{2\left(a-2\right)}{a-2}}+3=3+2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a-2\right)^2=2\Leftrightarrow a=2+\sqrt{2}\Rightarrow b=1+\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow A\left(2+\sqrt{2};0\right);B\left(0;1+\sqrt{2}\right)\)

\(a^3+b^3+c^3-3abc=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab.0\)

\(=0-0=0\)

ta có \(\overrightarrow{AB}\left(3;-4\right)\Rightarrow\overrightarrow{u_{AB}}\left(4;3\right)\) \(\Rightarrow\left(AB\right):4x+3y-7=0\)

đặc \(C\left(x_c;y_c\right)\)

vì \(C\in\left(d\right):x-2y-1=0\Rightarrow x_c-2y_c-1=0\)...............(1)

ta lại có khoảng cách từ \(C\) đến đường thẳng \(AB\) là \(6\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left|4x_c+3y_c-7\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=6\Leftrightarrow\left|4x_c+3y_c-7\right|=30\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4x_c+3y_x-7=30...\left(2\right)\\4x_c+3y_c-7=-30...\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : \(\left\{{}\begin{matrix}x_c-2y_c-1=0\\4x_c+3y_c-7=30\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_c=7\\y_c=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(7;3\right)\)

từ (1) và (3) ta có hệ phương trình : \(\left\{{}\begin{matrix}x_c-2y_c-1=0\\4x_c+3y_c-7=-30\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_c=\dfrac{-43}{11}\\y_c=\dfrac{-27}{11}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(\dfrac{-43}{11};\dfrac{-27}{11}\right)\)

vậy có 2 điểm \(C\) thõa mãn điều kiện bài toán là \(C\left(7;3\right)\) và \(C\left(\dfrac{-43}{11};\dfrac{-27}{11}\right)\)

Gọi \(C\left(x_c;y_c\right)\) \(\Rightarrow x_c-2y_c+8=0\) (1)

ta có độ dài đoạn \(AB\) bằng \(\sqrt{\left(5-2\right)^2+\left(1-2\right)^2}=\sqrt{10}\)

ta có : \(\overrightarrow{AB}\left(3;-1\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{U}_{AB}\left(1;3\right)\)

\(\Rightarrow\) phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là :

\(\left(x-2\right)+3\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x+3y-8=0\)

\(\Rightarrow\) đường cao kẻ từ \(C\) có độ dài là : \(\dfrac{\left|x_c+3y_c-8\right|}{\sqrt{1^2+3^2}}.\sqrt{10}=7\)

\(\Leftrightarrow\left|x_c+3y_c-8\right|=7\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_c+3y_c-8=7\left(2\right)\\x_c+3y_c-8=-7\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

từ (1) và (2) ta có hệ : \(\left\{{}\begin{matrix}x_c+3y_c=15\\x_c-2y_c=-8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_c=\dfrac{6}{5}\\y_c=\dfrac{23}{5}\end{matrix}\right.\)

từ (1) và (3) ta có hệ : \(\left\{{}\begin{matrix}x_c+3y_c=1\\x_c-2y_c=-8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_c=\dfrac{-22}{5}\\y_c=\dfrac{9}{5}\end{matrix}\right.\)

vậy có 2 điểm \(C\) thỏa mãn điều kiện bài toán là : \(C\left(\dfrac{6}{5};\dfrac{23}{5}\right);c\left(\dfrac{-22}{5};\dfrac{9}{5}\right)\)

Gọi \(C\left(x_c;y_c\right)\) \(\Rightarrow x-2y+8=0\) (1)

ta có độ dài của đoạn thẳng \(AB=\sqrt{\left(5-2\right)^2+\left(1-2\right)^2}=\sqrt{10}\)

ta có : \(\overrightarrow{AB}\left(3;-1\right)\) \(\Rightarrow VTPT\) của \(AB\) là \(\overrightarrow{U}_{AB}\left(1;3\right)\)

\(\Rightarrow\) phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là

\(\left(x-2\right)+3\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x+3y-8=0\)

\(\Rightarrow\) đường cao kẻ từ \(C\) có độ dài : \(\dfrac{\left|x_c+3y_c-8\right|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\dfrac{17.2}{\sqrt{10}}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_c+3y_c-8=34\left(2\right)\\x_c+3y_c-8=-34\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

từ (1) và (2) ta có hệ : \(\left\{{}\begin{matrix}x_c-2y_c=-8\\x_c+3y_c=42\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_c=12\\y_c=10\end{matrix}\right.\)

từ (1) và (3) ta có hệ : \(\left\{{}\begin{matrix}x_c-2y_c=-8\\x_c+3y_c=-26\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_c=\dfrac{-76}{5}\\y_c=\dfrac{-18}{5}\end{matrix}\right.\)

vậy có 2 điểm \(C\) thỏa mãn điều kiện bài toán là : \(C\left(12;10\right);C\left(\dfrac{-76}{5};\dfrac{-18}{5}\right)\)

bài lm kia mk bị nhầm chút ; mk làm lại nha :((

Lời giải:

Gọi vector pháp tuyến của \((P)\) là \((a,b,c)\)

Ta có \((-1,-2,3)=\overrightarrow {AB}\perp \overrightarrow{n_P}\Rightarrow -a-2b+3c=0\) $(1)$

Do mặt phẳng đi qua \(A\) nên nó có dạng:\(a(x-1)+by+cz=0\)

Khoảng cách từ \(C\mapsto (P)\) là : \(d=\frac{|b+c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow 6bc=4a^2+b^2+c^2\) $(2)$

Từ \((1),(2)\Rightarrow 6bc=4(2b-3c)^2+b^2+c^2\Leftrightarrow 17b^2+37c^2-54bc=0\)

\(\Leftrightarrow (37c-17b)(c-b)=0\)

TH1: \(b=c\Rightarrow a=3c-2b=b\)

PTMP: \(b(x-1)+by+bz=0\Leftrightarrow x+y+z-1=0\)

TH2: \(c=\frac{17b}{37}\Rightarrow a=3c-2b=\frac{-23}{37}b\)

PTMP: \(-\frac{23}{37}b(x-1)+by+\frac{17}{37}bz=0\Leftrightarrow \frac{-23}{37}x+y+\frac{17}{37}z+\frac{23}{37}=0\)