\(\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}=\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{x+yz}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Tương tự:

\(\dfrac{y}{y+\sqrt{y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

\(\dfrac{z}{z+\sqrt{z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Cộng vế:

\(VT\le\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Có VT = \(\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{2}{xy}-\dfrac{2}{yz}-\dfrac{2}{zx}}\)

\(=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{2}{xyz}\left(x+y+z\right)}\) 

\(=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}=\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|=VP\) (Vì x + y + z = 0) 

Đề bài chắc chắn là có vấn đề

Thử với \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\) thì \(VT=\dfrac{\sqrt{2}}{4}< 2\)

Như bạn sửa điều kiện thành \(x^3+y^3+z^3=1\) thì dấu "=" không xảy ra

Việc chứng minh vế trái lớn hơn 2 (một cách tuyệt đối) khá đơn giản:

\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)

Làm tương tự với 2 số hạng còn lại, sau đó cộng vế

Nhưng đẳng thức không xảy ra.

Bài 1:
Vì $x+y+z=1$ nên:

\(Q=\frac{x}{x+\sqrt{x(x+y+z)+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{y(x+y+z)+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{z(x+y+z)+xy}}\)

\(Q=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\sqrt{(x+y)(x+z)}=\sqrt{(x+y)(z+x)}\geq \sqrt{(\sqrt{xz}+\sqrt{xy})^2}=\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế suy ra:

\(Q\leq \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+ \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+ \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)

Vậy $Q$ max bằng $1$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài 2:
Vì $x+y+z=1$ nên:

\(\text{VT}=\frac{1-x^2}{x(x+y+z)+yz}+\frac{1-y^2}{y(x+y+z)+xz}+\frac{1-z^2}{z(x+y+z)+xy}\)

\(\text{VT}=\frac{(x+y+z)^2-x^2}{(x+y)(x+z)}+\frac{(x+y+z)^2-y^2}{(y+z)(y+x)}+\frac{(x+y+z)^2-z^2}{(z+x)(z+y)}\)

\(\text{VT}=\frac{(y+z)[(x+y)+(x+z)]}{(x+y)(x+z)}+\frac{(x+z)[(y+z)+(y+x)]}{(y+z)(y+x)}+\frac{(x+y)[(z+x)+(z+y)]}{(z+x)(z+y)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\text{VT}\geq \frac{2(y+z)\sqrt{(x+y)(x+z)}}{(x+y)(x+z)}+\frac{2(x+z)\sqrt{(y+z)(y+x)}}{(y+z)(y+x)}+\frac{2(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}}{(z+x)(z+y)}\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq 2\underbrace{\left(\frac{y+z}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{x+z}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{x+y}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\right)}_{M}\)

Tiếp tục AM-GM cho 3 số trong ngoặc lớn, suy ra \(M\geq 3\)

Do đó: \(\text{VT}\geq 2.3=6\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $3x=3y=3z=1$

Bài 4:

Ta có một đẳng thức quen thuộc là:

\(1=(a+b)(b+c)(c+a)=(ab+bc+ac)(a+b+c)-abc(*)\)

Mà theo AM-GM:

\((a+b+c)(ab+bc+ac)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{ab.bc.ac}=9abc\)

\(\Rightarrow abc\leq \frac{(a+b+c)(ab+bc+ac)}{9}(**)\)

Từ \((*);(**)\Rightarrow 1\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)\)

Theo tính chất quen thuộc của BĐT AM-GM:

\((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow a+b+c\geq \sqrt{3(ab+bc+ac)}\)

Do đó:

\(1\geq \frac{8}{9}\sqrt{3(ab+bc+ac)^3}\)

\(\Rightarrow (ab+bc+ac)^3\leq \frac{27}{64}\Rightarrow ab+bc+ac\leq \frac{3}{4}\)

Ta có đpcm

Áp dụng BĐT cô si với ba số không âm ta có :

$\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{x+1}{8}+\frac{x+1}{8}\ge 3\sqrt[3]{3\frac{1}{64}}=\frac{3}{4}$

=> $\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}\ge \frac{3}{4}-\frac{x+1}{4}$ (1)

Dấu '' = '' xảy ra khi x = 1 

CM tương tự ra có " $\frac{1}{{\left(y+1\right)}^2}\ge \frac{3}{4}-\frac{y+1}{4}$(2) ; $\frac{1}{{\left(z+1\right)}^2}\ge \frac{3}{4}-\frac{z+1}{4}$ (3)

Dấu ''= '' xảy ra khi y = 1 ; z = 1 

Từ (1) (2) và (3) => $\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(y+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(z+1\right)}^2}\ge \frac{3}{4}\cdot 3-\frac{x+y+z+3}{4}$$\ge \frac{9}{4}-\frac{3\sqrt[3]{3xyz}+3}{4}=\frac{9}{4}-\frac{6}{4}=\frac{3}{4}$

BĐT được chứng minh 

Dấu '' = '' của bất đẳng thức xảy ra khi x =y =z = 1

:()

Câu 1:

\(x^2+2x\sqrt{x+\frac{1}{x}}=8x-1\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+1=4x-2x\sqrt{x+\frac{1}{x}}\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+1=2x(2-\sqrt{x+\frac{1}{x}})\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+1=2x.\frac{2^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)}{2+\sqrt{x+\frac{1}{x}}}\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+1=2x.\frac{4x-x^2-1}{x\left(2+\sqrt{x+\frac{1}{x}}\right)}\)

\(\Leftrightarrow (x^2-4x+1)\left(1+\frac{2}{2+\sqrt{x+\frac{1}{x}}}\right )=0\)

Dễ thấy biểu thức trong ngoặc lớn luôn lớn hơn 0, do đó

\(x^2-4x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\pm \sqrt{3}\)

Câu 2:

Vì \(x+y+z=0\Leftrightarrow x=-(y+z)\)

\(\Rightarrow x^2=(y+z)^2=y^2+z^2+2yz\)

\(\Rightarrow y^2+z^2-x^2=-2yz\)

\(\Rightarrow \frac{x^2}{y^2+z^2-x^2}=\frac{x^2}{-2yz}=\frac{x^3}{-2xyz}\)

Hoàn toàn tương tự. ta có:

\(\frac{y^2}{z^2+x^2-y^2}=\frac{y^3}{-2xyz}; \frac{z^2}{x^2+y^2-z^2}=\frac{z^3}{-2xyz}\)

Do đó:
\(P=\frac{x^3+y^3+z^3}{-2xyz}\)

Ta biết rằng:

\(x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(x+z)\)

\(=-3(x+y)(y+z)(x+z)\)

\(=-3(-z)(-x)(-y)=3xyz\)

Suy ra \(P=\frac{3xyz}{-2xyz}=\frac{-3}{2}\)

Câu 1 ): ĐKXĐ \(x>0\) ; Phương trình tương đương

\(x^2-8x+1+2\sqrt{\dfrac{x^2\left(x^2+1\right)}{x}}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-8x+1+2\sqrt{x\left(x^2+1\right)}=0\)

Đặt \(u=\sqrt{x^2+1}\Rightarrow u^2=x^2+1\left(u>0\right)\)

\(v=\sqrt{x}\Rightarrow v^2=x\left(v>0\right)\)

Phương trình trở thành

\(u^2-8v^2+2uv=0\Leftrightarrow u^2-2uv+4uv-8v^2=0\)\(\Leftrightarrow u\left(u-2v\right)+4v\left(u-2v\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(u-2v\right)\left(u+4v\right)=0\)

do \(u>0\) ; \(v>0\) nên \(u\ne-4v\)

\(\Rightarrow u=2v\)\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}=2\sqrt{x}\)\(\Rightarrow x^2+1=4x\Leftrightarrow x^2-4x+1=0\Leftrightarrow x=2\pm\sqrt{3}\)

vậy phương trình có 2 nghiệm \(x=2+\sqrt{3}\) và \(x=2-\sqrt{3}\)

\(VT^2\le3\left(\dfrac{1}{2x^2+y^2+3}+\dfrac{1}{2y^2+z^2+3}+\dfrac{1}{2z^2+x^2+3}\right)\)

Mặt khác:

\(\dfrac{1}{2\left(x^2+1\right)+y^2+1}\le\dfrac{1}{4x+2y}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x+x+y}\right)\le\dfrac{1}{18}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)

\(\Rightarrow VT^2\le\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}+\dfrac{3}{z}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)