(n²+3n+1)² -1

⇔(n²+3n+1-1)(n²+3n+1+1)

⇔(n²+3n)(n²+3n+2)

⇔n⁴+3n³+2n²+3n²+9n²+6n

⇔n⁴+6n³+11n²+6n

⇔n(n³+6n²+11n+6)

⇔n(n+1)(n+3)(n+2)⋮24

vì tích 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 24

Ta có:\(n^4+3n^3-n^2-3n=n^3.\left(n+3\right)-n.\left(n+3\right)=\left(n+3\right).\left(n^3-n\right)=\left(n+3\right).n.\left(n^2-1\right)=n.\left(n-1\right).\left(n+1\right).\left(n+3\right)⋮6\)b)Ta có:\(\left(2n-1\right)^3-2n+1=\left(2n-1\right).\left(\left(2n-1\right)^2-1\right)=\left(2n-1\right).\left(2n-1-1\right).\left(2n-1+1\right)=2n.\left(2n-1\right).\left(2n-2\right)⋮24\)

a)

n³+3n²+2n

= n³+ n²+2n²+2n

= n²(n+1) +2n(n+1)

= ( n+1)n(n+2)

Có n(n+1)(n+2) chia hết cho 6 vì là tích của 3 số nguyên liên tiếp

b)

(n²+n-1)²-1

= (n²+n-1-1)(n²+n-1+1)

= (n²+n-2)(n²+n)

= [ (n²-n) + (2n-2)] n (n+1)

= [ n(n-1) + 2(n-1)] n (n+1)

= n(n-1)(n+1)(n+2)

Có n(n-1)(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6

mà n(n-1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và(n+1)(n+2) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2

nên n(n-1)(n+1)(n+2) chia hết cho 4

\(\Rightarrow\) n(n-1)(n+1)(n+2) chia hết cho 24

a) n³+3n²+2n

=n(n²+3n+2)

=n(n²+2n+n+2)

=n[(n²+2n)+(n+2)]

=n[n(n+2)+(n+2)]

=n(n+2)(n+1) ⋮6 (3 số nguyên liên tiến nhân với nhau ⋮6) (đpcm)

Ta có \(n^3+3n^2+2n=n(n^2+3n+2)=n(n+1)(n+2)\)  là tích ba số nguyên liên tiếp. Trong hai số liên tiếp luôn có một chia hết cho 2, trong ba số liên tiếp luôn có một chia hết cho 3. Vậy tích chia hết cho 6.

Ta có \((n^2+n-1)^2-1=(n^2+n-2)(n^2+n)=(n-1)(n+2)n(n+1)=(n-1)n(n+1)(n+2)\)  là tích bốn số nguyên liên tiếp.

Trong ba số liên tiếp luôn có một chia hết cho 3. Vậy tích chia hết cho 3. Mặt khác trong bốn số liên tiếp phải có hai số chẵn liên tiếp. Hai số chẵn liên tiếp phải có một số chia hết cho 4. Vậy tích sẽ chia hết cho 8. Từ hai điều đó suy ra tích chia hết 3x8=24.

(n² + 3n - 1)(n + 2) - n³ + 2 = n³ + 5n² + 5n - 2 - n³ + 2 = 5(n² + n) ⋮ 5

Ta có:

\(\left(n^2+3n-1\right)\left(n+2\right)-n^3+2\)

\(=n^3+2n^2+3n^2+6n-n-2-n^3+2\)

\(=5n^2+5n\)

\(=5\left(n^2+n\right)\) chia hết cho 5

Vậy \(\left(n^2+3n-1\right)\left(n+2\right)-n^3+2\) chia hết cho5(đpcm)

xem lại câu a nhé bạn

là 10 nhé

\(S=\left(2n+1\right)\left(n^2-3n-1\right)-2n^3+1\)

\(=2n\left(n^2-3n-1\right)+\left(n^2-3n-1\right)-2n^3+1\)

\(=2n^3-6n^2-2n+n^2-3n-1-2n^3+1\)

\(=\left(2n^3-2n^3\right)-\left(6n^2-n^2\right)-\left(2n+3n\right)-1+1\)

\(=-5n^2-5n=-5n\left(n+1\right)⋮5\)

\(S=\left(2n+1\right)\left(n^2-3n-1\right)-2n^3+1\)

\(=2n^3-6n^2-2n+n^2-3n-1-2n^3+1\)

\(=-5n^2-5n=-5n\left(n+1\right)⋮5\)

Vậy \(\left(2n+1\right)\left(n^2-3n-1\right)-2n^3+1⋮5\)