\(\left(n^2+3n+1\right)^2-1\)
\(=\left[\left(n^2+3n\right)+1\right]^2-1\)
\(=\left(n^2+3n\right)^2+2\cdot\left(n^2+3n\right)\cdot1+1^2-1\)
\(=n^4+6n^3+9n^2+2n^2+6n\)
\(=n^4+6n^3+11n^2+6n\)
Bạn tham khảo tiếp :
Cái này hiểu nhưng hơi dài, đi copy sorry mn
dat A(n) = n^4+6n^3+11n^2+6n va A chia het cho 24 (1)
+) voi n = 1 => A = 24 chia het cho 24. vay (1) dung voi n = 1.(*)
+) gia su (1) dung voi n = k tuc la A(k) = k^4+6k^3+11k^2+6k chia het cho 24 (**).
+) gio ta phai chung minh (1) cung dung voi n = (k+1). that vay ta co:
A(k+1) = (k+1)^4+6(k+1)^3+11(k+1)^2+6(k+1) = (k+1)[(k+1)^3+6(k+1)^2+11(k+1)+6] =
= (k+1)(k+2)[(k+1)^2+5(k+1)+6] = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
nhan thay A(k+1) la h cua so tu nhien lien tiep=> A(k+1) chia het cho 24 (***)
tu (*) (**) va (***) => A(n) = n^4+6n^3+11n^2+6n chia het cho 24 voi moi n thuoc N(*).
\(A=\left(n^2+3n+1\right)^2-1\) \(\left(n\in Z\right)\)
\(=\left(n^2+3n+1-1\right)\left(n^2+3n+1+1\right)\)
\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)
\(=n\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)
Trong 4 số nguyên liên tiếp luôn có 2 số chẵn liên tiếp nên \(A⋮8\)
Mặt khác, \(A⋮3\)
Do đó: \(A⋮24\)
Chúc bạn học tốt
