48 D

50   

ĐKXĐ: \(0\le x\le2\)

\(y'=\dfrac{-x+1}{\sqrt{-x^2+2x}}>0\Rightarrow x< 1\)

Kết hợp ĐKXĐ \(\Rightarrow\) hàm đồng biến trên \(\left(0;1\right)\)

a) Đk:\(x\in R\)

TH1:Xét \(x\in\left(3;+\infty\right)\)

Lấy \(x_1;x_2\in\left(3;+\infty\right)\) thỏa mãn \(x_1\ne x_2\)

Xét \(I=\dfrac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\dfrac{2x_1^2-4x_1+3-\left(2x_2^2-4x_2+3\right)}{x_1-x_2}\)\(=2\left(x_1+x_2\right)-4\)

Do \(x_1;x_2\in\left(3;+\infty\right)\)\(\Rightarrow2\left(x_1+x_2\right)>12\Leftrightarrow2\left(x_1+x_2\right)-4>8>0\)

\(\Rightarrow I>0\)

Hàm đồng biến trên \(\left(3;+\infty\right)\)

TH2:Xét \(x\in\left(-10;1\right)\)

Lấy \(x_1;x_2\in\left(-10;1\right):x_1\ne x_2\)

Xét \(I=2\left(x_1+x_2\right)-4\)

Do \(x_1< 1;x_2< 1\Rightarrow2\left(x_1+x_2\right)< 4\Rightarrow I=2\left(x_1+x_2\right)-4< 0\)

Hàm nb trên khoảng \(\left(-10;1\right)\)

b)Làm tương tự,hàm nb trên \(\left(1;+\infty\right)\) và đb trên \(\left(-10;-2\right)\)

c)Đk: \(x\in R\backslash\left\{2\right\}\)

=>Hàm số xác định trên \(\left(-\infty;2\right)\)

Lấy \(x_1;x_2\in\left(-\infty;2\right):x_1\ne x_2\)

Xét \(I=\dfrac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\dfrac{\dfrac{x_1}{x_1-2}-\dfrac{x_2}{x_2-2}}{x_1-x_2}=\dfrac{-2}{\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)}\)

Do \(x_1;x_2< 2\Rightarrow\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)>0\)

\(\Rightarrow I=-\dfrac{2}{\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)}< 0\)

Hàm nb trên ​\(\left(-\infty;2\right)\)​

d)\(I=\dfrac{1}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}\)

Hàm đb trên \(\left(-1;+\infty\right)\) ; \(\left(-3;-2\right)\)

e)TXĐ:D=R

Lấy \(x_1;x_2\in\left(0;+\infty\right):x_1< x_2\)

​​\(T=f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=x_1^{2020}+x_1^2-3-x_2^{2020}-x_2^2+3=x_1^{2020}-x_2^{2020}+x_1^2-x_2^2\)

Do \(x_1< x_2\Rightarrow x_1^{2020}< x_2^{2020};x_1^2< x_2^2\)

​\(\Rightarrow T=x_1^{2020}-x_2^{2020}+x_1^2-x_2^2< 0\)​

Hàm đb trên \(\left(0;+\infty\right)\)

D

ĐKXĐ: \(0\le x\le2\)

\(y'=\dfrac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}-1=\dfrac{1-x-\sqrt{2x-x^2}}{\sqrt{2x-x^2}}\)

\(y'=0\Rightarrow\sqrt{2x-x^2}=1-x\) (\(x\le1\))

\(\Rightarrow2x-x^2=x^2-2x+1\Rightarrow x=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\)

Hàm nghịch biến trên \(\left(\dfrac{2-\sqrt{2}}{2};2\right)\) và các tập con của nó

D đúng

a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Lấy \({x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right)\) sao cho \({x_1} < {x_2}\).

Xét \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_2} - {x_1} > 0\)

\({x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow {x_1}{x_2} > 0\)

\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

b) Lấy \({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right)\) sao cho \({x_1} < {x_2}\).

Xét \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_2} - {x_1} > 0\)

\({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right) \Rightarrow {x_1}{x_2} > 0\)(Cùng dấu âm nên tích cũng âm)

\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

help

\(y'=x^2-2\left(m-1\right)x+3\left(m-1\right)\)

Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi với mọi \(x>1\) ta luôn có:

\(g\left(x\right)=x^2-2\left(m-1\right)x+3\left(m-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\min\limits_{x>1}g\left(x\right)\ge0\)

Do \(a=1>0;-\dfrac{b}{2a}=m-1\)

TH1: \(m-1\ge1\Rightarrow m\ge2\)

\(\Rightarrow g\left(x\right)_{min}=f\left(m-1\right)=\left(m-1\right)^2-2\left(m-1\right)^2+3\left(m-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(m-1\right)\left(4-m\right)\ge0\Rightarrow1\le m\le4\Rightarrow2\le m\le4\)

TH2: \(m-1< 1\Rightarrow m< 2\Rightarrow g\left(x\right)_{min}=g\left(1\right)=m\ge0\)

Vậy \(0\le m\le4\)

Lời giải:
a. Vì $\sqrt{3}-1>0$ nên hàm trên là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$

b.

$F(0)=(\sqrt{3}-1).0+1=1$

$F(\sqrt{3}+1)=(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)+1=(3-1)+1=3$