Lời giải:

a) 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((y-2x)^2\leq (16y^2+36x^2)(\frac{1}{16}+\frac{1}{9})=9.\frac{25}{144}\)

\(\Rightarrow \frac{-5}{4}\leq y-2x\leq \frac{5}{4}\Rightarrow \frac{15}{4}\leq y-2x+5\leq \frac{25}{4}\)

Vậy $A_{\min}=\frac{15}{4}$ và $A_{\max}=\frac{25}{4}$

b) 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((2x-y)^2\leq (\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9})(16+9)=25\)

\(\Rightarrow -5\leq 2x-y\leq 5\Leftrightarrow -7\leq 2x-y-2\leq 3\)

Vậy $B_{min}=-7; B_{\max}=3$

1. a. \(A=8a-8a^2+3=-8\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+5\)

Vì \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a\)\(\Rightarrow-8\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+5\le5\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow-8\left(a-\frac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow a-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\)

Vậy Amax = 5 <=> a = 1/2

b. \(B=b-\frac{9b^2}{25}=-\frac{9}{25}\left(b-\frac{25}{18}\right)^2+\frac{25}{36}\)

Vì \(\left(b-\frac{25}{18}\right)^2\ge0\forall b\)\(\Rightarrow-\frac{9}{25}\left(b-\frac{25}{18}\right)^2+\frac{25}{36}\le\frac{25}{36}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow-\frac{9}{25}\left(b-\frac{25}{18}\right)^2=0\Leftrightarrow b-\frac{25}{18}=0\Leftrightarrow b=\frac{25}{18}\)

Vậy Bmax = 25/36 <=> b = 25/18

a,\(A=8a-8a^2+3\)

       \(=-8\left(a^2-a\right)+3\)

       \(=-8\left(a^2-2a\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)+3\)

       \(=-8\left[\left(a-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\right]+3\)

       \(=-8\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+2+3\)

       \(=-8\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+5\le5\forall a\) 

Dấu"=" xảy ra khi \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2=0\Rightarrow a=\frac{1}{2}\)

Vậy \(Max_A=5\)khi\(a=\frac{1}{2}\)

bài 2:

b,\(D=d^2+10e^2-6de-10e+26\)

\(=d^2-23de+\left(3e\right)^2+e^2-2.5e+5^2+1\)

\(=\left(d-3e\right)^2+\left(e-5\right)^2+1\ge1\forall d,e\)

Dấu"=" xảy ra khi\(\orbr{\begin{cases}\left(d-3e\right)^2=0\\\left(e-5\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}d=15\\e=5\end{cases}}}\)

vậy \(D_{min}=1\)khi \(d=15;e=5\)

c,:\(E=4x^4+12x^2+11\)

\(=\left(2x^2\right)^2+2.2x^2.3+3^2+2\)

\(=\left(2x^2+3\right)^2+2\ge2\forall x\)

còn 1 đoạn nx bạn tự lm tiếp,lm giống như D

2. a. \(C=\frac{1}{16}c^2-9c+10=\frac{1}{16}\left(x-72\right)^2-314\)

Vì \(\left(x-72\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow\frac{1}{16}\left(x-72\right)^2-314\ge-314\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{1}{16}\left(x-72\right)^2=0\Leftrightarrow x-72=0\Leftrightarrow x=72\)

Vậy Cmin = - 314 <=> x = 72

b. \(D=d^2+10e^2-6de-10e+26=\left(d^2-6de+9e^2\right)+\left(e^2-10e+25\right)+1\)

\(=\left(d-3e\right)^2+\left(e-5\right)^2+1\)

Vì \(\left(d-3e\right)^2\ge0;\left(e-5\right)^2\ge0\forall d;e\)\(\Rightarrow\left(d-3e\right)^2+\left(e-5\right)^2+1\ge1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(d-3e\right)^2=0\\\left(e-5\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}d-3e=0\\e=5\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}d=15\\e=5\end{cases}}\)

Vậy Dmin = 1 <=> d = 15 ; e = 5

c. \(E=4x^4+12x^2+11=\left(2x^2+3\right)^2+2\)

Vì \(\left(2x^2+3\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow\left(2x^2+3\right)^2+2\ge2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(2x^2+3\right)^2=0\Leftrightarrow2x^2+3=0\Leftrightarrow x^2=-\frac{3}{2}\left(vo-ly\right)\)

Không thể xảy ra dấu "=" trong th này

Vậy để Emin thì \(\left(2x^2+3\right)^2_{min}=\left(3^2\right)=9\Leftrightarrow2x^2=0\Leftrightarrow x=0\)

Vậy Emin = 9 + 2 = 11 <=> x = 0

a,8a-8a²+3

=-8(a²-a)+3

=-8[a²-2a\(\dfrac{1}{2}\)+\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\)-\(\dfrac{1}{4}\)]+3

=-8[(a-\(\dfrac{1}{2}\))²-\(\dfrac{1}{4}\)]+3

=-8(a-\(\dfrac{1}{2}\))²+2+3

=-8(a-\(\dfrac{1}{2}\))²+5

mà (a-\(\dfrac{1}{2}\))²\(\ge\)0

=>-8(a-\(\dfrac{1}{2}\))²\(\le\)0

=>-8(a-\(\dfrac{1}{2}\))²+5\(\le\)5

=> Gía trị lớn nhất biểu thức trên đạt được là 5( khi (a-\(\dfrac{1}{2}\))²=0\(\Leftrightarrow\)a=\(\dfrac{1}{2}\))

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky :

\(\left(9a^3+3b^2+c\right)\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)

\(\Rightarrow9a^3+3b^2+c\ge\frac{1}{\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{9a^3+3b^2+c}\le a\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)\)

Thực hiện tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế :
\(P\le\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{a+b+c}{3}+\left(ab+bc+ac\right)\)

\(P\le\frac{2}{3}+ab+bc+ac\)

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM - GM :

\(ab+bc+ac\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1\Rightarrow P_{max}=1\)

Vậy GTLN của P là 1 khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

=-3x^2+12x-12+12

=-3(x^2-4x+4)+12

==-3(x-2)^2+12<=12

Dấu = xảy ra khi x=2

a) \(A=4x^2-4x+23\)

\(A=4x^2-4x+1+22\)

\(A=\left(2x-1\right)^2+22\)

Mà: \(\left(2x-1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow A=\left(2x-1\right)^2+22\ge22\forall x\)

Dấu "=" xảy ra:

\(2x-1=0\)

\(\Rightarrow2x=1\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

Vậy: \(A_{min}=22\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

b) \(B=25x^2+y^2+10x-4y+2\)

\(B=25x^2+10x+1+y^2-4y+4-3\)

\(B=\left(5x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2-3\)

Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(5x+1\right)^2\ge0\forall x\\\left(y-2\right)^2\ge0\forall y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow B=\left(5x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2-3\ge-3\forall x,y\)

Dấu "=" xảy ra:

\(\left\{{}\begin{matrix}5x+1=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x=-1\\y=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{5}\\y=2\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(B_{min}=-3\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{5}\\y=2\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(A=-2x^2-5x+3\)

\(=-2\left(x^2+\dfrac{5}{2}x-\dfrac{3}{2}\right)\)

\(=-2\left(x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{5}{4}+\dfrac{25}{16}-\dfrac{49}{16}\right)\)

\(=-2\left(x+\dfrac{5}{4}\right)^2+\dfrac{49}{8}\)

Ta có: \(\left(x+\dfrac{5}{4}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow-2\left(x+\dfrac{5}{4}\right)^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow-2\left(x+\dfrac{5}{4}\right)^2+\dfrac{49}{8}\le\dfrac{49}{8}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x+\dfrac{5}{4}=0\)

hay \(x=-\dfrac{5}{4}\)

Vậy: Giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=-2x^2-5x+3\) là \(\dfrac{49}{8}\) khi \(x=-\dfrac{5}{4}\)

A lớn nhất khi a-5=1

=>a=6

Nếu ta muốn tìm được giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=2020+240:\left(a-5\right)\)thì phép  tính trong ngoặc của vế \(240:\left(a-5\right)\) phải có giá trị bé nhất có thể nhưng phải khác \(0\) :

Ta gọi:

\(a\) là số bị trừ

\(5\) là số trừ

\(x\) là hiệu

\(x\) tìm được phải nhỏ nhất nhưng khác \(0\)

Nên:Gía trị nhỏ nhất của \(x\) là \(=1\)

Ta phải tìm số bị trừ nào \(-5=1\) mà muốn tìm số bị trừ ta lấy hiệu \(+\) số trừ

Ta có:\(1+5=6\)

Từ đó suy ra:

\(=>a=6\)

Lời giải:

Để $A$ lớn nhất thì $a-5$ phải là số tự nhiên khác 0 nhỏ nhất 

$\Rightarrow a-5=1$

$\Rightarrow a=6$