Ai giúp e bài này với ạ ?
Tính các tổng sau:
\(\sum\limits^n_{i=0}\) \(\dfrac{-1}{i!\left(n-i\right)!}\)
Chứng minh:
a)
\(\sum\limits^n_{i=1}cos\dfrac{2\left(i-1\right)\pi}{n}=0\)
b) \(\sum\limits^n_{i=1}sin\dfrac{2\left(i-1\right)\pi}{n}=0\)
Cho \(n\ge2\), \(x_i\inℝ\), \(i=\overline{1,n}\) thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}\sum\limits^n_{i=1}x_i=0\\\sum\limits^n_{i=1}x_i^2=1\end{matrix}\right.\)
Với mỗi tập A khác rỗng, \(A\subset\left\{1,2,...,n\right\}\), ta định nghĩa \(S_A=\sum\limits^{ }_{i\in A}x_i\).
Chứng minh rằng, với mỗi số \(\lambda>0\), số tập A thỏa mãn \(S_A\ge\lambda\) không quá \(\dfrac{2^{n-3}}{\lambda^2}\)
Cho dãy số (Un) được xác định như sau: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=\sqrt{u_n.\left(u_n+1\right).\left(u_n+2\right).\left(u_n+3\right)+1}\end{matrix}\right.,\forall n\in N\). Đặt \(v_n=\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{1}{u_i+2}\). Tính \(v_{2020}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=1\\x_{n+1}=\sqrt{x_n\left(x_n+1\right)\left(x_n+2\right)\left(x_n+3+1\right)}\end{matrix}\right.\). Đặt \(\dfrac{y_n}{x_n}=\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{1}{x_i+2}\). Tìm lim \(y_n\)
\(Un=\dfrac{4n}{12+\left(2+n^2\right)^2}\)
\(An=\sum\limits^n_{k=1}Uk\) , Tính lim An
Em cảm ơn ạ !!!!
\(u_n=\dfrac{4n}{n^4+4n^2+16}=\dfrac{4n}{n^4+8n^2+16-4n^2}=\dfrac{4n}{\left(n^2+4\right)^2-4n^2}=\dfrac{4n}{\left(n^2-2n+4\right)\left(n^2+2n+4\right)}\)
\(=\dfrac{1}{n^2-2n+4}-\dfrac{1}{n^2+2n+4}=\dfrac{1}{\left(n-1\right)^2+3}-\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2+3}\)
Do đó:
\(A_n=\dfrac{1}{\left(1-1\right)^2+3}-\dfrac{1}{\left(1+1\right)^2+3}+\dfrac{1}{\left(2-1\right)^2+3}-\dfrac{1}{\left(2+1\right)^2+3}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)^2+3}-\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2+3}\)
\(=\dfrac{1}{0^2+3}-\dfrac{1}{2^2+3}+\dfrac{1}{1^2+3}-\dfrac{1}{3^2+3}+\dfrac{1}{2^2+3}-\dfrac{1}{4^2+3}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)^2+3}-\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2+3}\)
\(=\dfrac{1}{0^2+3}+\dfrac{1}{1^2+3}-\dfrac{1}{n^2+3}-\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2+3}=\dfrac{7}{12}-\dfrac{1}{n^2+3}-\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2+3}\)
\(\Rightarrow\lim\left(A_n\right)=\dfrac{7}{12}\)
Cho dãy (Un) thỏa: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\u_{n+1}=\dfrac{u_n^{2015}+u_n+1}{u_n^{2014}-u_n+3}\end{matrix}\right.\).
a) CMR: \(u_n>1\) với mọi N và Un là dãy tăng
b) Tính: \(lim\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{1}{u_i^{2014}+2}\)
Cho dãy (Un) thỏa: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\u_{n+1}=\dfrac{u_n^{2015}+u_n+1}{u_n^{2014}-u_n+3}\end{matrix}\right.\).
a) CMR: \(u_n>1\) với mọi N và Un là dãy tăng
b) Tính: \(lim\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{1}{u_i^{2014}+2}\)
a) Để chứng minh rằng Un > 1 đối với mọi N và Un là dãy tăng, ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp.
Bước cơ sở: Ta thấy rằng u1 = 2 > 1.
Bước giả sử: Giả sử đúng đối với một số nguyên k ≥ 1, tức là uk > 1.
Bước bước: Ta sẽ chứng minh rằng uk+1 > 1. Từ công thức cho dãy (Un), ta có:
uk+1 = uk-2015 + uk + 1/uk - uk + 3
Vì uk > 1 (theo giả thiết giả sử), ta có uk - 2015 > 0 và uk + 3 > 0. Do đó, uk+1 > 0.
Vì vậy, ta có uk+1 > 1, và đẳng thức này đúng đối với mọi số nguyên k ≥ 1.
Do đó, ta chứng minh được rằng Un > 1 đối với mọi N và Un là dãy tăng.
b) Để tính limn∑i=11uk - i + 2, ta có thể sử dụng định nghĩa của dãy (Un) và công thức tổng của dãy số aritmeti.
Từ công thức cho dãy (Un), ta có:
uk - i + 2 = uk - 2015 - i + uk + 1 - i + uk + 2 - i
Vì Un là dãy tăng, ta có thể viết lại công thức trên như sau:
uk - i + 2 = uk - 2015 - i + uk + 1 - i + uk + 2 - i
= (uk+1 - 2015 + uk + 1) - (uk - 2015 + uk) + (uk+1 - uk)
= 2uk+1 - 2uk + 2015
Do đó, ta có thể viết lại tổng như sau:
∑i=11uk - i + 2 = 2∑i=11uk+1 - 2∑i=11uk + 2015∑i=1
= 2(u12 - u2) + 2015(12)
Với giá trị cụ thể của u12 và u2, ta có thể tính được tổng trên.
Rút gọn :
a, \(A=\sum\limits^n_{k=1}k.k!\)
b, \(B=\sum\limits^n_{k=2}\dfrac{k}{\left(k-1\right)!}\)