Giải phương trình sau

\(sin2x+cosy=2\)

CMR với mọi tam giác nhọn ABC ta luôn có

\(\sqrt{9+\tan^4A}+\sqrt{9+\tan^4B}+\sqrt{9+\tan^4C}\ge9\sqrt{2}\)

Chứng minh:

a)

\(\sum\limits^n_{i=1}cos\dfrac{2\left(i-1\right)\pi}{n}=0\)

b) \(\sum\limits^n_{i=1}sin\dfrac{2\left(i-1\right)\pi}{n}=0\)

Cho ΔABC, CMR: \(sin\dfrac{A}{2}+sin\dfrac{B}{2}+sin\dfrac{C}{2}\le\dfrac{3}{2}\).

Một cửa hàng mua sách với giá 3 USD/cuốn, cửa hàng bán sách với giá 5USD/cuốn, tại giá bán này mỗi tháng sẽ bán được 200 cuốn , cửa hàng có kế hoạch giảm giá để kích thích sức mua và họ ước tính rằng cứ mỗi 1 USD giảm đi trong giá bán thì mỗi tháng bán nhiều hơn 20 cuốn. Hãy biểu diễn lợi nhuận hàng tháng của cửa hàng từ việc bán sách này bằng một hàm theo giá bán, vẽ đồ thị và tìm giá bán tối ưu nhất

Chứng minh a,b,c số thực không âm thỏa ab+bc+ca > 0 \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{2c+1}}+2\sqrt{\dfrac{c}{a+b+c}}\ge2\)

Chứng minh

\(\dfrac{a}{\sqrt{b^2+c^2+d^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{c^2+d^2+a^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{d^2+a^2+b^2}}+\dfrac{d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\ge2\)

\(x^2+2x-1+\left(x-1\right)\sqrt{x+2}=0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}xy^2-x^2y-y^3+5x^2+y^2-y+1=0\\x^2-y-3x+2=0\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+3+\sqrt{3x+1}=3y^2-2y+\sqrt{xy-1}\\15x^2+4y^2+2x+2xy-12=0\end{matrix}\right.\)