\(A=-\dfrac{4}{x^2-4x+10}\\ =-\dfrac{4}{\left(x^2-2.x.2+4+6\right)}\\ =-\dfrac{4}{\left(x-2\right)^2+6}\)

\(\left(x-2\right)^2\ge0\\ \Rightarrow\left(x-2\right)^2+6\ge6\\ \Rightarrow\dfrac{4}{\left(x-2\right)^2+6}\le\dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow A=-\dfrac{4}{\left(x-2\right)^2+6}\ge-\dfrac{2}{3}\)

Min A=-2/3 khi x=2

\(C=\dfrac{2}{x^2+4x+5}=\dfrac{2}{\left(x+2\right)^2+1}\)

Vì \(\left(x+2\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+2\right)^2+1\ge1\)

\(\Rightarrow C\le2\)

Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow x=-2\)

Vậy Min C = 2 kjhi x = -2

\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) (1)

Chứng minh : \(x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge4xy\forall x,y\)

a ) Áp dụng BĐT (1) ta có :

\(\left(x+10\right)^2\ge4.x.10=40x\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{\left(x+10\right)^2}\le\dfrac{x}{40x}=\dfrac{1}{40}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=10.\)

Câu b tương tự

Bạn coi lại xem có viết nhầm chỗ nào trong biểu thức không? Biểu thức này nội việc rút gọn thôi đã "xấu" rồi.

Lời giải:

ĐK: $x\geq 0; x\neq 1$

\(A=\frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}.\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{2}-\frac{\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}-1)^2}.\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{2}\)

\(=\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-1)}{2(\sqrt{x}+1)}-\frac{\sqrt{x}+2}{2}=\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-1)-(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}+1)}{2(\sqrt{x}+1)}=\frac{-6\sqrt{x}}{2(\sqrt{x}+2)}=\frac{-3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\)

Vì $x\geq 0$ nên $3\sqrt{x}\geq 0; \sqrt{x}+2>0$

$\Rightarrow \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\geq 0$

$\Rightarrow A\leq 0$ hay $A_{\max}=0$ khi $x=0$

Bạn tham khảo lời giải tại đây:

Tìm GTLN của biểu thức: \(A=\left(\dfrac{x^2}{x^2-3x 2} \dfrac{x^2}{x^2-5x 6}\right):\dfrac{x^4 x^2 1}{x^2-4x 3}\) - Hoc24

Lời giải:

ĐK: $x\neq 1;2;3$

\(A=x^2\left[\frac{1}{(x-1)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)(x-3)}\right].\frac{(x-1)(x-3)}{x^4+x^2+1}\)

\(=x^2.\frac{x-3+x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}.\frac{(x-1)(x-3)}{x^4+x^2+1}=x^2.\frac{2(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}.\frac{(x-1)(x-3)}{x^4+x^2+1}=\frac{2x^2}{x^4+x^2+1}\)

Áp dụng BĐT AM-GM: $x^4+1\geq 2x^2$

$\Rightarrow A\leq \frac{2x^2}{2x^2+x^2}=\frac{2}{3}$

Vậy $A_{\max}=\frac{2}{3}$. Giá trị đạt tại $x^4=1$ hay $x=-1$ (do $x\neq 1$)