Có thể tìm được min của P chứ không thể tính ra được giá trị cụ thể của P (biểu thức P vẫn phụ thuộc x;y, cụ thể sau khi rút gọn \(P=2\left(x+y\right)-1\))

\(\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{y}{1-y}=1\Leftrightarrow1+\dfrac{x}{1-x}+1+\dfrac{y}{1-y}=3\)

\(\Leftrightarrow3=\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1-y}\ge\dfrac{4}{2-\left(x+y\right)}\)

\(\Leftrightarrow2-\left(x+y\right)\ge\dfrac{4}{3}\Rightarrow x+y\le\dfrac{2}{3}< 1\)

Cũng từ giả thiết:

\(\dfrac{x\left(1-y\right)+y\left(1-x\right)}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=1\Leftrightarrow x+y-2xy=1-x-y+xy\)

\(\Leftrightarrow3xy=2\left(x+y\right)-1\)

Do đó:

\(P=x+y+\sqrt{\left(x+y\right)^2-3xy}=x+y+\sqrt{\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1}\)

\(P=x+y+\sqrt{\left(1-x-y\right)^2}=x+y+1-x-y=1\)

À tính được P, nãy xác định ngược dấu.

a) \(A=\dfrac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{x+2\sqrt{xy}+y}\)

\(A=\dfrac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}\)

\(A=\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)

b) \(B=\dfrac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{x-2\sqrt{xy}+y}\)

\(B=\dfrac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}\)

\(B=\dfrac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\)

c) \(C=\dfrac{3\sqrt{a}-2a-1}{4a-4\sqrt{a}+1}\)

\(C=\dfrac{-\left(2a-3\sqrt{a}+1\right)}{\left(2\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{a}\cdot2\cdot1+1^2}\)

\(C=\dfrac{-\left(\sqrt{a}-1\right)\left(2\sqrt{a}-1\right)}{\left(2\sqrt{a}-1\right)^2}\)

\(C=\dfrac{-\sqrt{a}+1}{2\sqrt{a}-1}\)

d) \(D=\dfrac{a+4\sqrt{a}+4}{\sqrt{a}+2}+\dfrac{4-a}{\sqrt{a}-2}\)

\(D=\dfrac{\left(\sqrt{a}+2\right)^2}{\sqrt{a}+2}+\dfrac{\left(2-\sqrt{a}\right)\left(2+\sqrt{a}\right)}{\sqrt{a}-2}\)

\(D=\sqrt{a}+2-\dfrac{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}{\sqrt{a}-2}\)

\(D=\left(\sqrt{a}+2\right)-\left(\sqrt{a}+2\right)\)

\(D=0\)

Đề bài sai, biểu thức này ko có min

Bạn cần làm gì với biểu thức này?
 

a: \(=\dfrac{3}{2}\sqrt{6}+\dfrac{2}{3}\sqrt{6}-2\sqrt{3}=\dfrac{13}{6}\sqrt{6}-2\sqrt{3}\)

b: \(VT=\dfrac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}\cdot\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\)

c: \(VT=\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}\left(\sqrt{y}-\sqrt{x}\right)}\)

\(=\dfrac{y-x}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}=\dfrac{-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}\)

Lời giải:

Từ \(xy+x+y=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+1=x^2+xy+x+y=x(x+y)+(x+y)=(x+1)(x+y)\\ y^2+1=y^2+xy+x+y=y(x+y)+(x+y)=(y+1)(x+y)\end{matrix}\right.\)

Mà \(xy+x+y=1\Rightarrow x(y+1)+(y+1)=2\Rightarrow (x+1)(y+1)=2\)

Do đó:

\(x\sqrt{\frac{2(y^2+1)}{x^2+1}}+y\sqrt{\frac{2(x^2+1)}{y^2+1}}+\sqrt{\frac{(x^2+1)(y^2+1)}{2}}\)

\(=x\sqrt{\frac{(x+1)(y+1)(y+1)(x+y)}{(x+1)(x+y)}}+y\sqrt{\frac{(x+1)(y+1)(x+1)(x+y)}{(y+1)(x+y)}}+\sqrt{\frac{(x+1)(x+y)(y+1)(x+y)}{(x+1)(y+1)}}\)

\(=x\sqrt{(y+1)^2}+y\sqrt{(x+1)^2}+\sqrt{(x+y)^2}\)

\(=x(y+1)+y(x+1)+x+y=2xy+2x+2y=2(xy+x+y)=2.1=2\)

2

không biết :))))

Chứng minh bằng phép biến đổi tương đương:

1.

\(\Leftrightarrow4+x+y\ge4\sqrt{x+y}\)

\(\Leftrightarrow x+y-4\sqrt{x+y}+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+y}-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng

2.

\(\Leftrightarrow\dfrac{y+z}{xyz}\ge\dfrac{4}{x^2+yz}\)

\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)\left(x^2+yz\right)\ge4xyz\)

\(\Leftrightarrow x^2y+x^2z+y^2z+z^2y-4xyz\ge0\)

\(\Leftrightarrow y\left(x^2+z^2-2xz\right)+z\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow y\left(x-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)