cho a>0, b>0 và a+b\(\le\)4
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=\dfrac{2}{a^2+b^2}+\dfrac{35}{ab}+2ab\)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S= \(\dfrac{5x^4+4x^2+10}{x^4+2}\)
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T=\(\dfrac{2x^4-4x^2+8}{x^4+4}\)
c) Cho a là hằng số và a>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=\(\dfrac{8y^8+2a\left(y-3\right)^2+2a^2}{4y^8+a^2}\)
cho a>0, b>0 và \(a+b\le4\)
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=\dfrac{2}{a^2+b^2}+\dfrac{35}{ab}+2ab\)
Lời giải:
Ta dự toán cực trị xảy ra tại \(a=b=2\). Công việc còn lại là phân tích hợp lý.
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{2}{a^2+b^2}+\frac{2}{2ab}\right)(a^2+b^2+2ab)\geq (\sqrt{2}+\sqrt{2})^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{2}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}\geq \frac{8}{a^2+b^2+2ab}=\frac{8}{(a+b)^2}\)
Mà \(a+b\lè 4\Rightarrow \frac{2}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab} \geq \frac{8}{(a+b)^2}\geq \frac{8}{4^2}=\frac{1}{2}(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{32}{ab}+2ab\geq 2\sqrt{32.2}=16(2)\)
Tiếp tục AM-GM: \(4\geq a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq 4\)
\(\Rightarrow \frac{2}{ab}\geq \frac{2}{4}=\frac{1}{2}(3)\)
Lấy \((1)+(2)+(3)\Rightarrow A\geq \frac{1}{2}+16+\frac{1}{2}=17\)
Vậy \(A_{\min}=17\Leftrightarrow a=b=2\)
Cho a>0 ; b>0 và \(a+b\le4\)
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=\frac{2}{a^2+b^2}+\frac{35}{ab}+2ab\)
\(A=\frac{2}{a^2+b^2}+\frac{35}{ab}+2ab\)
\(=2\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\frac{34}{ab}+\frac{17}{8}ab-\frac{1}{8}ab\)
\(\ge2.\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2\sqrt{\frac{34}{ab}.\frac{17}{8}ab}-\frac{1}{8}.\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow A\ge2.\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2.\frac{17}{2}-\frac{1}{8}.\frac{4}{4^2}+17-\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{1}{2}+17-\frac{1}{2}=17\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=2\)
Chúc bạn học tốt !!!
Tìm GTNN của biểu thức sau:
A=\(\dfrac{2}{a^2+b^2}+\dfrac{35}{ab}+2ab\)
Với a>0,b>0 và a+b \(\le\)4
\(A=\dfrac{2}{a^2+b^2}+\dfrac{35}{ab}+2ab\\ =\dfrac{2}{a^2+b^2}+\dfrac{2}{2ab}+\dfrac{34}{ab}+\dfrac{17ab}{8}-\dfrac{ab}{8}\\ =2\left(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\right)+17\left(\dfrac{2}{ab}+\dfrac{ab}{8}\right)-\dfrac{ab}{8}\\ \overset{AM-GM}{\ge}2\cdot\dfrac{1}{a^2+b^2+2ab}+17\sqrt{\dfrac{2}{ab}\cdot\dfrac{ab}{8}}-\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\cdot8}\\ =\dfrac{2}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{17}{2}-\dfrac{\left(a+b\right)^2}{32}\\ \ge\dfrac{2}{4^2}+\dfrac{17}{2}-\dfrac{4^2}{32}=\dfrac{65}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi : \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{ab}=\dfrac{ab}{8}\\a^2+b^2=2ab\\a=b\\a+b=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=2\)
Vậy \(A_{Min}=\dfrac{65}{8}\) khi \(a=b=2\)
\(\ge2\cdot\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+17\cdot2\sqrt{\dfrac{2}{ab}+\dfrac{ab}{8}}-\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\cdot8}\\ =\dfrac{8}{\left(a+b\right)^2}+17-\dfrac{\left(a+b\right)^2}{32}\\ \ge\dfrac{8}{4^2}+17-\dfrac{4^2}{32}=17\)
Vậy \(A_{Min}=17\) khi \(a=b=c=2\)
cho a,b>0 thỏa mãn \(\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{b}+2\right)=9\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=\(\dfrac{a^4}{b}+\dfrac{b^4}{a}\)
1) Cho biểu thức A = \(\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\) ( x > 0 )
a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9
b) Tìm x để A = 3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
2) Cho biểu thức B = \(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\) (x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9)
a) Tính giá trị biểu thức tại x = 4 - \(2\sqrt{3}\)
b) Tìm x để B có giá trị âm
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của B
3) Cho biểu thức C = \(\dfrac{2x+2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\) với x > 0; x ≠ 1
a) Tìm x để C = 7
b) Tìm x để C > 6
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của C – \(\sqrt{x}\)
4) Cho biểu thức D = \(\dfrac{2-5\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\) với x > 0 ; x ≠ 1
a) Tính giá trị biểu thức D biết \(x^2\) - 8x - 9 = 0
b) Tìm x để D có giá trị là \(\dfrac{1}{2}\)
c) Tìm x để D có giá trị nguyên
5) Cho biểu thức E = \(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}\) với x ≥ 0 ; x ≠ 1 ; x ≠ 9
a) Tính giá trị biểu thức E tại x = 4 + \(2\sqrt{3}\)
b) Tìm điều kiện của x để E < 1
c) Tìm x nguyên để E có giá trị nguyên
Bài 5:
a: Thay \(x=4+2\sqrt{3}\) vào E, ta được:
\(E=\dfrac{\sqrt{3}+1-1}{\sqrt{3}+1-3}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}=-3-2\sqrt{3}\)
b: Để E<1 thì E-1<0
\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-1-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}< 0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-3< 0\)
hay x<9
Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}0\le x< 9\\x\ne1\end{matrix}\right.\)
c: Để E nguyên thì \(4⋮\sqrt{x}-3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-3\in\left\{-2;1;2;4\right\}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{4;5;7\right\}\)
hay \(x\in\left\{16;25;49\right\}\)
Câu 2:
a) Ta có \(x=4-2\sqrt{3}\Rightarrow\sqrt{x}=\sqrt{\left(\sqrt{3}-2\right)^2}=\sqrt{3}-2\)
Thay \(x=\sqrt{3}-1\) vào \(B\), ta được
\(B=\dfrac{\sqrt{3}-1-2}{\sqrt{3}-1+1}=\dfrac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}}=1-\sqrt{3}\)
b) Để \(B\) âm thì \(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}< 0\) mà \(\sqrt{x}+1\ge1>0\forall x\) \(\Rightarrow\sqrt{x}-2< 0\Rightarrow\sqrt{x}< 2\Rightarrow x< 4\)
c) Ta có \(B=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\)
Với mọi \(x\ge0\) thì \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow\sqrt{x}+1\ge1\Rightarrow\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\le3\Rightarrow B=1-\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\ge-2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x}+1=1\Leftrightarrow x=0\)
Vậy \(B_{min}=-2\) khi \(x=0\)
cho a,b,c > 0 thỏa mãn :a+b+c+ab+bc+ca=6abc
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = \(\dfrac{1}{a^2}\)+\(\dfrac{1}{b^2}\)+\(\dfrac{1}{c^2}\)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x^2-8x+5\)
b) Cho \(a^3+b^3+c^3=3abc\) và \(a+b+c\) ≠ 0
Tính giá trị của biểu thức N =\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=\(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
MN giúp e với
\(P=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\) (BĐT Cauchy Schwarz)
\(=\dfrac{9}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\)
\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\)
\(=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\)
Ta có: \(ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\) .Thế vào biểu thức
\(\Rightarrow P\ge9+\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}}=9+21=30\)
\(\Rightarrow P_{min}=30\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)