Lời giải:
Ta dự toán cực trị xảy ra tại \(a=b=2\). Công việc còn lại là phân tích hợp lý.
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{2}{a^2+b^2}+\frac{2}{2ab}\right)(a^2+b^2+2ab)\geq (\sqrt{2}+\sqrt{2})^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{2}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}\geq \frac{8}{a^2+b^2+2ab}=\frac{8}{(a+b)^2}\)
Mà \(a+b\lè 4\Rightarrow \frac{2}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab} \geq \frac{8}{(a+b)^2}\geq \frac{8}{4^2}=\frac{1}{2}(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{32}{ab}+2ab\geq 2\sqrt{32.2}=16(2)\)
Tiếp tục AM-GM: \(4\geq a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq 4\)
\(\Rightarrow \frac{2}{ab}\geq \frac{2}{4}=\frac{1}{2}(3)\)
Lấy \((1)+(2)+(3)\Rightarrow A\geq \frac{1}{2}+16+\frac{1}{2}=17\)
Vậy \(A_{\min}=17\Leftrightarrow a=b=2\)
