*học ngu chỉ làm được câu b. lười quá nên làm tắt*

Biến đổi thành

4(a³+b³)-(a+b)³+4(a³+b³)-(b+c)³+4(c³+a³)-(c+a)³ >=0

xét 4(a³+b³)-(a+b)³ =(a+b)[4(a²-ab+b²)-(a+b)²]

                                =3(a+b)(a-b)² >=0

tương tự với \(\hept{\begin{cases}4\left(b^3+c^3\right)-\left(b+c\right)^3\\4\left(c^3+a^2\right)-\left(a+c\right)^3\end{cases}}\)

=> đpcm

đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Ta có : \(4\left(a^3+b^3\right)=4a^3+4b^3\)(1)

\(\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^2\)(2)

Từ 1 và 2 \(< =>3a^3+3b^3\ge3a^2b+3ab^2\)

\(< =>a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)

\(< =>a+b\ge b+a\left(đpcm\right)\)

Ko chắc lắm vì t ms lớp 6 :((

Ta biến đổi: \(4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3+4\left(b^3+c^3\right)-\left(b+c\right)^3+4\left(c^3+a^3\right)-\left(c+a\right)^3\ge0\)

Xét: \(4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3=\left(a+b\right)\left[4\left(a^2-ab+b^2\right)-\left(a+b\right)^2\right]\)

\(=3\left(x+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

Tương tự với: \(4\left(b^3+c^3\right)-\left(b+c\right)^3\) và \(4\left(c^3+a^3\right)-\left(c+a\right)^3\)

Ta suy ra đpcm.

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

khai triển cái VT ra bạn:

\(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)

Vì đề là a;b;c không âm,ta áp dụng bđt AM-GM:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ac}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3\ge a^3+b^3+c^3+3.2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=VP\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c\)

Ta có:\(\left(a+b+c\right)^3=\left(a+b\right)^3+c^3+3c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+3ab\left(a+b\right)+3c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(ab+ac+bc+c^2\right)\)

=\(a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Cần cm:\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Lại có:\(a+b\ge2\sqrt{ab};b+c\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ca}\)

Nhân vế theo vế ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^3+b^3+b^3\geq 3ab^2\)

\(a^3+a^3+b^3\geq 3a^2b\)

\(\Rightarrow 3(a^3+b^3)\geq 3ab(a+b)\)

\(\Leftrightarrow 4(a^3+b^3)\geq a^3+b^3+3ab(a+b)=(a+b)^3\)

Tương tự:

\(\left\{\begin{matrix} 4(b^3+c^3)\geq (b+c)^3\\ 4(c^3+a^3)\geq (c+a)^3\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế:

\(8(a^3+b^3+c^3)\geq (a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\)

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Xét : a^3+b^3-ab.(a+b)

= (a+b).(a^2-ab+b^2)-ab.(a+b)

= (a+b).(a^2-2ab+b^2)

= (a+b).(a-b)^2 >= 0 ( vì a;b > 0 )

=> a^3+b^3 >= ab.(a+b)

<=> (a+b)^3 = a^3+b^3+3ab.(a+b) < = a^3+b^3+3a^3+3b^3 = 4a^3+4b^3

Tương tự ........

=> (a+b)^3 + (b+c)^3 + (c+a)^3 < = 8a^3+8b^3+8c^3 = 8.(a^3+b^3+c^3)

=> ĐPCM

Tk mk nha

\(\left(x-1\right)\left(x^3-1\right)=\left(x-1\right)^2\left(x^2+x+1\right)\ge0\) ( Đúng )

Với các số thực dương a,b ta có:

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)

Tương tự:

\(a^3+c^3\ge ac\left(a+c\right)\)

\(b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)\)

Cộng vế:

\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Để chứng minh bất đẳng thức:

\(2 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) \geq a b \left(\right. a + b \left.\right) + b c \left(\right. b + c \left.\right) + c a \left(\right. c + a \left.\right)\)

với \(a , b , c > 0\), ta sẽ sử dụng các phương pháp như bất đẳng thức \(A M - G M\) hoặc khai triển các biểu thức và đối chiếu các vế.

Trước tiên, ta mở rộng vế phải của bất đẳng thức:

\(a b \left(\right. a + b \left.\right) + b c \left(\right. b + c \left.\right) + c a \left(\right. c + a \left.\right)\)

Khai triển từng phần:

\(a b \left(\right. a + b \left.\right) = a^{2} b + a b^{2}\)\(b c \left(\right. b + c \left.\right) = b^{2} c + b c^{2}\)\(c a \left(\right. c + a \left.\right) = c^{2} a + c a^{2}\)

Vậy vế phải của bất đẳng thức trở thành:

\(a b \left(\right. a + b \left.\right) + b c \left(\right. b + c \left.\right) + c a \left(\right. c + a \left.\right) = a^{2} b + a b^{2} + b^{2} c + b c^{2} + c^{2} a + c a^{2}\)

Tiếp theo, ta có vế trái là:

\(2 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right)\)

Như vậy, ta cần chứng minh:

\(2 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) \geq a^{2} b + a b^{2} + b^{2} c + b c^{2} + c^{2} a + c a^{2}\)

Bất đẳng thức \(A M - G M\) (trung bình cộng - trung bình nhân) cho ta kết quả sau với các số dương:

\(\frac{a^{3} + a^{3} + b^{3}}{3} \geq a b \text{ho}ặ\text{c} a^{3} + b^{3} \geq 3 a b\)

Áp dụng tương tự cho các cặp khác nhau, ta có:

\(a^{3} + b^{3} \geq 3 a b , b^{3} + c^{3} \geq 3 b c , c^{3} + a^{3} \geq 3 c a\)

Bây giờ, cộng tất cả các bất đẳng thức trên:

\(\left(\right. a^{3} + b^{3} \left.\right) + \left(\right. b^{3} + c^{3} \left.\right) + \left(\right. c^{3} + a^{3} \left.\right) \geq 3 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right)\)

Hay:

\(2 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) \geq 3 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right)\)

Vậy ta có:

\(2 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) \geq a b \left(\right. a + b \left.\right) + b c \left(\right. b + c \left.\right) + c a \left(\right. c + a \left.\right)\)

Do đó, bất đẳng thức đã được chứng minh.

\(2 \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) \geq a b \left(\right. a + b \left.\right) + b c \left(\right. b + c \left.\right) + c a \left(\right. c + a \left.\right)\)

Vậy, với \(a , b , c > 0\), bất đẳng thức trên là đúng.

Tham khảo