\(a,\left(2x-3\right)n-2n\left(n+2\right)\)

\(=n\left(2x-3-2n-4\right)\)

\(=-7n\)

Vì \(-7⋮7\Rightarrow-7n⋮7\) => ĐPCM

\(b,n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\)

\(=n\left(2n-3-2n-2\right)\)

\(=-5n⋮5\) (ĐPCM)

Rút gọn

\(a,\left(3x-5\right)\left(2x+11\right)-\left(2x+3\right)\left(3x+7\right)\)

\(=6x^2+33x-10x-55-6x^2-14x-9x-21\)

\(=-76\)

\(b,\left(x+2\right)\left(2x^2-3x+4\right)-\left(x^2-1\right)\left(2x+1\right)\)

\(=2x^3-3x^2+4x+4x^2-6x+8-2x^3-x^2+2x+1\)

\(=9\)

\(c,3x^2\left(x^2+2\right)+4x\left(x^2-1\right)-\left(x^2+2x+3\right)\left(3x^2-2x+1\right)\)

\(=3x^4+6x^2+4x^3-4x-3x^4+2x^3-x^2-6x^3+4x^2-2x-9x^2+6x-3\)

= -3

a) \(\forall x\in R,x>1\Rightarrow\dfrac{2x}{x+1}< 1\rightarrow Sai\)

vì \(\dfrac{2x}{x+1}< 1\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{x+1}< 0\Leftrightarrow x< 1\left(mâu.thuẫn.x>1\right)\)

b) \(\forall x\in R,x>1\Rightarrow\dfrac{2x}{x+1}>1\rightarrowĐúng\)

Vì \(\dfrac{2x}{x+1}>1\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{x+1}>0\Leftrightarrow x>1\left(đúng.đk\right)\)

c) \(\forall x\in N,x^2⋮6\Rightarrow x⋮6\rightarrowđúng\)

\(\forall x\in N,x^2⋮9\Rightarrow x⋮9\rightarrowđúng\)

Bạn ghi lại đề đi bạn

c) +) giả sử k chẵn--> k² chẵn --> k²-k+1 lẻ
+) giả sử k lẻ --> k² lẻ --> k²-k+1 lẻ
==> ko tồn tại k thuộc Z thỏa đề
d) sai
vì ví dụ x=-4<3 nhưng x²=(-4)²=16>9(ko thỏa đề)

Lời giải:

Biến đổi: \(q(x)=9.81^x+15.25^x+2.8^x+8.64^x\)

Lại có:

\(\left\{\begin{matrix} 81\equiv 13\pmod {17}\rightarrow 81^k\equiv 13^k\pmod {17}\\ 25\equiv 8\pmod {17}\rightarrow 25^k\equiv 8^k\pmod {17}\\ 64\equiv 13\pmod {17}\rightarrow 64^k\equiv 13^k\pmod {17}\end{matrix}\right.\)

Do đó, \(q(x)\equiv 9.13^k+15.8^k+2.8^k+8.13^k\pmod {17}\)

\(\Leftrightarrow q(x)\equiv 17.13^k+17.8^k\equiv 0\pmod {17}\)

\(\Leftrightarrow q(x)\vdots 17\) (đpcm)

Lời giải:

Vì \(7^3\equiv 1\pmod 9\) nên xét modulo $3$ cho $x$ :

+ Nếu \(x=3k\) :

\(\Rightarrow t(x)=7^{6k+1}-144k-7=7.7^{6k}-144k-7\equiv 7-144k-7\equiv 0\pmod 9\)

+ Nếu \(x=3k+1\):

\(\Rightarrow t(x)=7^{6k+3}-144k-55=7^3.7^{6k}-144k-55\equiv 7^3-55\equiv 0\pmod 9\)

+ Nếu \(x=3k+2\):

\(\Rightarrow t(x)=7^{6k+5}-144x-103=7^5.7^{6k}-144k-103\equiv 7^5-103\equiv 0\pmod 9\)

Từ 3 TH trên , suy ra \(t(x)\vdots 9\) $(1)$

Mặt khác:

\(t(x)=7(7^{2x}-1)-48x=7(7^x-1)(7^x+1)-48x\)

\( \bullet\) Nếu \(x\) chẵn, đặt $x=2t$ :

\(t(x)=7(7^t-1)(7^t+1)(7^x+1)-96t\)

+ $t$ lẻ:

\(\left\{\begin{matrix} 7^t-1\vdots 2\\ 7^x+1\vdots 2\\ 7^t+1\equiv (-1)^t+1\equiv 0\pmod 8\\ 96t\vdots 32\end{matrix}\right.\Rightarrow 7(7^t-1)(7^t+1)(7^x+1)-96t\vdots 32\)

\(\Rightarrow t(x)\vdots 32\)

+ $t$ chẵn:

\(\left\{\begin{matrix} 7^t-1\equiv (-1)^t-1\equiv 0\pmod 8\\ 7^x+1\vdots 2\\ 7^t+1\vdots 2\\ 96t\vdots 32\end{matrix}\right.\Rightarrow 7(7^t-1)(7^t+1)(7^x+1)-96t\vdots 32\)

\(\Rightarrow t(x)\vdots 32\)

\(\bullet \) Nếu \(x\) lẻ, đặt $x=2t+1$

Khi đó \(t=7(7^x-1)(7^x+1)-96t-48\)

Có \(\left\{\begin{matrix} 7^x+1\equiv (-1)^x+1= (-1)^{2t+1}+1\equiv 0\pmod 8\\ 7^x-1\vdots 2\\ 7^x-1\equiv (-1)^x-1=(-1)^{2t+1}-1\equiv -2\pmod 4\end{matrix}\right.\)

Do đó, \(7(7^x-1)(7^x+1)\) chia hết cho $16$ mà không chia hết cho $32$

Suy ra \(7(7^x-1)(7^x+1)=32k+16\Rightarrow t(x)=32k-96t-32\vdots 32\)

Từ 2TH trên, ta thu được \(t(x)\vdots 32(2)\)

Từ \((1),(2), UCLN(9,32)=1\Rightarrow t(x)\vdots (9.32=288)\) (đpcm)

\(\)

1.

\(a,=x^4-3x^3+5x^3-15x^2-x^2+3x-5x+15\\ =\left(x-3\right)\left(x^3+5x^2-x-5\right)\\ =\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x^2-1\right)\\ =\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+5\right)\\ b,=2x^4-2x^3+x^3-x^2-8x^2+8x+5x-5\\ =\left(x-1\right)\left(2x^3+x^2-8x+5\right)\\ =\left(x-1\right)\left(2x^3+5x^2-4x^2-10x+2x+5\right)\\ =\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x^2-2x+1\right)\\ =\left(x-1\right)^3\left(2x+5\right)\)

2.

\(a,=n^3\left(n+2\right)-n\left(n+2\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n+2\right)\\ =\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Đây là tích 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho \(1\cdot2\cdot3\cdot4=24\)

Suy ra đpcm

Bổ sung điều kiện câu b: n chẵn và n>4

\(b,=n\left(n^3-4n^2-4n+16\right)=n\left[n^2\left(n-4\right)-4\left(n-4\right)\right]\\ =\left(n-4\right)\left(n-2\right)n\left(n+2\right)\)

Với n chẵn và \(n>4\) thì đây là tích 4 số nguyên chẵn liên tiếp nên chia hết cho \(2\cdot4\cdot6\cdot8=384\)

Bài 1: 

c: \(=\left(x^2+3x+1\right)^2\)