Ta có: \(a^2=bc\)

\(\Leftrightarrow a\cdot a=b\cdot c\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{a}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được: 

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a-b}{c-a}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a-b}{c-a}\)

hay \(\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+a}{c-a}\)(đpcm)

Ta có:

\(a^2\) \(=b.c\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a-b}{c-a}\)

Từ \(\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a-b}{c-a}\Rightarrow\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+a}{c-a}\)

Vậy \(\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+a}{c-a}\)

Ta có:

\(a^2=b.c\) \(\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a-c}{b-a}\)

\(Từ\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a-b}{c-a}\Rightarrow\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{c+a}{c-a}\)

\(\)Vậy \(\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+a}{c-a}\)

a, Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a+b+c}{b+c+a}=1\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

b, Ta có: \(a^2=bc\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a-b}{c-a}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+a}{c-a}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

a) $\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a+b+c}{b+c+a}=1$

(tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

$\dfrac{a}{b}=1=>a=b$

$\dfrac{b}{c}=1=>b=c$

$\dfrac{c}{a}=1=>c=a$

Vậy a = b = c.

b) Ta có : $a^2=bc=>\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a-b}{c-a}$(tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

$=>\dfrac{a+b}{c+a}=\dfrac{a-b}{c-a}$

$=>\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+a}{c-a}$

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a+b+c}{b+c+a}=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

\(a^2=bc\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}\)

Đặt:

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{a}=k\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=ck\\b=ak\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{ck+ak}{ck-ak}=\dfrac{k\left(c+a\right)}{k\left(c-a\right)}=\dfrac{c+a}{c-a}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+a}{c-a}\)

Áp dụng tính chất 2 phân số bằng nhau:\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=>ad=bc\) , ta có:

\(=>\left(a+b\right)\left(c-a\right)=\left(a-b\right)\left(c+a\right)\)

\(=>ac-a^2+bc-ab=ac+a^2-bc-ab\)

\(=>-a^2+bc=a^2-bc\)

\(=>bc-a^2-\left(a^2-bc\right)=0\)

\(=>2bc-2a^2=0=>2\left(bc-a^2\right)=0=>bc-a^2=0\)

\(=>bc=a^2\)

CHÚC BẠN HỌC TỐT........

a^2+ab+b^2/3=c^2+b^2/3+a^2+ac+c^2

=>ab=2c^2+ac

=>2c/a=(b+c)/(a+c)

\(\)Ta có: \(a+b+c=0 \Rightarrow b+c=-a \Rightarrow (b+c)^2=(-a)^2 \Leftrightarrow b^2+c^2+2bc=a^2 \Leftrightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)

Tương tự: \(b^2-c^2-a^2=2ca;c^2-a^2-b^2=2ab\)

\(P=...=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ca}+\dfrac{c^2}{2bc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)

----
Bổ đề \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\)

Ở đây ta c/m chiều thuận:
Với \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a+b=-c \Rightarrow (a+b)^3=(-c)^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc(QED)\)

Ta có : \(\dfrac{bz-cy}{a}\text{=}\dfrac{cx-az}{b}\text{=}\dfrac{ay-bx}{c}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a\left(bz-cy\right)}{a^2}\text{=}\dfrac{b\left(cx-az\right)}{b^2}\text{=}\dfrac{c\left(ay-bx\right)}{c^2}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\dfrac{a\left(bz-cy\right)}{a^2}\text{=}\dfrac{b\left(cx-az\right)}{b^2}\text{=}\dfrac{c\left(ay-bx\right)}{c^2}\text{=}\dfrac{abz-acy+bcz-baz+cay-cbx}{a^2+b^2+c^2}\text{=}0\)

\(\Rightarrow\dfrac{bz-cy}{a}\text{=}0\Rightarrow bz\text{=}cy\)

\(\Rightarrow\dfrac{b}{c}\text{=}\dfrac{y}{z}\left(1\right)\)

\(\dfrac{cx-az}{b}\text{=}0\Rightarrow cx\text{=}az\)

\(\Rightarrow\dfrac{c}{a}\text{=}\dfrac{z}{x}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2):

\(\Rightarrow dpcm\)