Gs a+b+c>1/a+1/b+1/c nhưng không t/m một và chỉ một trong 3 số a,b,c lớn hơn 1 TH1:Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 1 hoặc đều nhỏ hơn 1 suy ra mâu thẫn( vì abc=1) TH2 có 2 số lớn hơn 1 Gs a>1,b>1,c<1 suy ra a-1>0,b-1>0,c-1<0 suy ra (a-1)(b-1)(c-1)<0 suy ra abc+a+b+c-(ab+bc+ca)-1<0 suy ra a+b+c<ab+bc+ca suy ra a+b+c<abc/c+abc/a+abc/b suy ra a+b+c<1/a+1/b+1/c(mâu thuẫn với giả thuyết nên điều giả sử sai) suy ra đpcm

`1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c)`

`<=>(a+b)/(ab)+(a+b)/(c(a+b+c))=0`

`<=>(a+b)(ab+ac+bc+c^2)=0`

`<=>(a+b)(a+c)(b+c)=0`

`=>` $\left[ \begin{array}{l}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{array} \right.$

`=>` PT luôn tồn tại 2 số đối nhau

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2016}\)

\(\Rightarrow\dfrac{bc+ac+bc}{abc}=\dfrac{1}{2016}\)

\(\Rightarrow\dfrac{bc+ac+ab}{abc}=\dfrac{1}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=abc\)

\(\Rightarrow ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+3abc=abc\)

\(\Rightarrow ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+2abc=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Rightarrow a=-b\) hay \(b=-c\) hay \(c=-a\)
-Vậy trong ba số a,b,c tồn tại 2 số đối nhau.

Áp dụng bđt Svácxơ, ta có:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

\(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)

Áp dụng, thay vào A, ta có: 

\(A\le\text{Σ}\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "="⇔\(a=b=c=1\)

= chịu

Toán lớp 9

Nhân vế với vế của giả thiết:

\(\left(a+\dfrac{1}{b}\right)\left(b+\dfrac{1}{c}\right)\left(c+\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{28}{3}\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{a}{c}+1\right)\left(c+\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{28}{3}\)

\(\Leftrightarrow abc+\dfrac{1}{abc}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+a+b+c=\dfrac{28}{3}\) (1)

Cộng vế với vế giả thiết:

\(\Rightarrow a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=4+1+\dfrac{7}{3}=\dfrac{22}{3}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow abc+\dfrac{1}{abc}+\dfrac{22}{3}=\dfrac{28}{3}\)

\(\Rightarrow abc+\dfrac{1}{abc}=2\)

\(\Rightarrow\left(abc\right)^2-2\left(abc\right)+1=0\)

\(\Rightarrow\left(abc-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow abc=1\)

Sửa \(\le\) thành \(\ge\) nha bạn

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\)

Ta có \(\dfrac{a^2}{a+bc}=\dfrac{a^3}{a^2+abc}=\dfrac{a^3}{a^2+ab+bc+ca}=\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^2}{b+ca}=\dfrac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\\\dfrac{c^2}{c+ba}=\dfrac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT cosi:

\(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{64}}=\dfrac{3}{4}a\)

\(\dfrac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{b^3}{64}}=\dfrac{3}{4}b\)

\(\dfrac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{b+c}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{c^3}{64}}=\dfrac{3}{4}c\)

Cộng VTV:

\(\Leftrightarrow VT+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)\\ \Leftrightarrow VT\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{4}-\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{8}\\ \Leftrightarrow VT\ge\dfrac{a+b+c}{4}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=3\)

Áp dụng BĐT cosi:

\(\left(a+\dfrac{1}{a}\right)\left(b+\dfrac{1}{b}\right)4=ab+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{1}{ab}\\ \ge ab+\dfrac{1}{ab}+2\sqrt{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}}=ab+\dfrac{1}{ab}+2\)

Áp dụng tiếp BĐT cosi:

\(ab+\dfrac{1}{ab}=\left(16ab+\dfrac{1}{ab}\right)-15ab\\ \ge2\sqrt{\dfrac{16ab}{ab}}-15ab=8-15ab\\ \ge8-15\cdot\dfrac{a+b}{4}=8-15\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{17}{4}\)

\(\Leftrightarrow ab+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{1}{ab}\ge\dfrac{17}{4}+2=\dfrac{25}{4}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)