2. Bạn kiểm tra lại đề: VP = 1/2

Ta có: 

  \(\sqrt{a\left(3a+b\right)}=\frac{1}{4}.2.\sqrt{4a\left(3a+b\right)}\le\frac{1}{4}\left(4a+3a+b\right)=\frac{1}{4}\left(7a+b\right)\)

\(\sqrt{b\left(3b+a\right)}=\frac{1}{4}.2.\sqrt{4b\left(3b+a\right)}\le\frac{1}{4}\left(4b+3b+a\right)=\frac{1}{4}\left(7b+a\right)\)

=> \(\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\frac{a+b}{\frac{1}{4}\left(7a+b\right)+\frac{1}{4}\left(7b+a\right)}=\frac{a+b}{2\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}\)

Vậy: \(\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\frac{1}{2}\) với a, b dương

thangbnsh@gmail.com helpme

thangbnsh@gmail.comacelegona

BĐT cần chứng minh tương đương :

\(\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}-\sqrt{ab}\ge\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{2ab}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{a^2+b^2}{2}-ab}{\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{ab}}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2-4ab}{2\left(a+b\right)}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}}{\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{ab}}\ge\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2\left(a+b\right)}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}}{\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{ab}}-\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{ab}}-\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}\right)\ge0\)

ta phải chứng minh;

\(\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{ab}}-\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{ab}\)\(\Leftrightarrow2a+2b-\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}-2\sqrt{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\right)+\left(a+b-2\sqrt{ab}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2-2\left(a^2+b^2\right)}{a+b+\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}+\dfrac{\left(a+b\right)^2-4ab}{a+b+2\sqrt{ab}}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-\left(a-b\right)^2}{a+b+\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{a+b+2\sqrt{ab}}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\dfrac{1}{a+b+2\sqrt{ab}}-\dfrac{1}{a+b+\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\right)\ge0\)

ta phải chứng minh

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a+b+2\sqrt{ab}}-\dfrac{1}{a+b+\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a+b+2\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a+b+\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\)

\(\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}\le a+b+\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

Áp dụng BĐt bunhiakovsky ta có:

`(\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)})^2<=(a+b)(3a+b+3b+a)`

`<=>(\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)})^2<=4(a+b)^2`

`<=>\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)}<=2(a+b)`

`=>(a+b)/(\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)})>=1/2`

Dấu "=" `<=>a=b`

đừng tag tui, tui k làm đâu

Đặt \(x=a^3;y=b^3;z=c^3\), khi đó \(xyz=1\). Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{2\left(2+xy+yz+zx+x+y+z\right)}\)

Ta viết lại bất đẳng thức như sau:

\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{2\left(2+xy+yz+zx+x+y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{2\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)

Bình phương 2 vế ta được:

\(\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2\ge8\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được \(\left(x+y\right)^2\left(x+\frac{1}{y}\right)^2\ge x+1^4\)hay ta được bất đẳng thức:

\(\left(x+y\right)^2\left(x+xz\right)^2\ge\left(x+1\right)^4\Leftrightarrow x^2\left(x+y\right)^2\left(1+z\right)^2\ge\left(x+1\right)^4\)

Tương tự ta được các bất đẳng thức:

\(y^2\left(y+z\right)^2\left(1+x\right)^2\ge\left(y+1\right)^4;z^2\left(z+x\right)^2\left(1+y\right)^2\ge\left(z+1\right)^4\)

Nhân theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:

\(x^2y^2z^2\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(z+x\right)^2\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2\left(1+z\right)^2\)

\(\ge\left(x+1\right)^4\left(y+1\right)^4\left(z+1\right)^4\)

Hay:

\(\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(z+x\right)^2\ge\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2\left(1+z\right)^2\)

Mặt khác, ta lại có:

\(\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2\left(1+z\right)^2\ge\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\cdot8\sqrt{xyz}\)

\(=8\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\)

Do đó ta được bất đẳng thức:

\(\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2\ge8\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)

Bất đẳng thức được chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

\(\left(a+3b\right)\left(b+3a\right)\le\left(\frac{4a+4b}{2}\right)^2=\left(2a+2b\right)^2\)

=>\(\frac{1}{2}\sqrt{\left(a+3b\right)\left(b+3a\right)}\le\frac{1}{2}\left(2a+2b\right)=a+b\)

Mình làm phần dễ nhất rồi, còn lại của bạn đó ^^

Đặt . Do đó . Cần chứng minh:

Or 

Bình phương 2 vế và xét hiệu, ta cần chứng minh:

Đó là điều hiển nhiên vì: 

Done.

eos bieets