Lời giải:

Bạn nhớ tới bổ đề sau: Với $a,b>0$ thì $a^3+b^3\geq ab(a+b)$.

Áp dụng vào bài:

$5a^3-b^3\leq 5a^3-[ab(a+b)-a^3]=6a^3-ab(a+b)$

$\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{6a^3-ab(a+b)}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-ab-b^2}{3a+b}=\frac{(3a+b)(2a-b)}{3a+b}=2a-b$

Tương tự:

$\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a$

Cộng theo vế:

$\Rightarrow \text{VT}\leq a+b+c=3$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Cảm thấy bài của ''chị Anh'' có gì đó không ổn :D

#Fix

ĐK:\(\left\{{}\begin{matrix}ab+b+c\ne0\\ac+c+a\ne0\\bc+b+c\ne0\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng phân thức, ta có:

\(ab.\frac{1}{ab+a+b}\le ab.\frac{1}{9}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)\(=\frac{1}{9}+\frac{a}{9}+\frac{b}{9}\)

Tương tự: \(\frac{2ac}{ac+c+a}\le\frac{2}{9}+\frac{2a}{9}+\frac{2c}{9}\),\(\frac{3bc}{bc+b+c}\le\frac{3}{9}+\frac{3b}{9}+\frac{3c}{9}\)

Cộng vế theo vế, ta có;

\(\frac{ab}{ab+a+b}+\frac{2ac}{ac+c+a}+\frac{3bc}{bc+b+c}\le\frac{2}{3}+\frac{3a+4b+5c}{9}\)\(=\frac{2}{3}+\frac{12}{9}=2\)

\(''=''\Leftrightarrow a=b=c=1\)

ĐK: \(\left\{{}\begin{matrix}ab+a+b\ne0\\ac+a+c\ne0\\bc+b+c\ne0\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(a+b\ge2ab\);\(a+c\ge2ac\);\(b+c\ge2bc\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{ab}{ab+a+b}+\dfrac{3bc}{bc+b+c}+\dfrac{2ca}{ca+c+a}\)\(\le\dfrac{ab}{3ab}+\dfrac{2ac}{3ac}+\dfrac{3bc}{3bc}\)\(=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}+1=2\)

Vậy A_max=2\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=c\)và \(a,b,c\ne0\)

Thay vào 3a+4b+5c=12, ta có:

12a=12\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Đây là bài sử dụng Cô-si ngược dấu đặc trưng:

\(\dfrac{1}{a^2+1}=\dfrac{a^2+1-a^2}{a^2+1}=1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\ge1-\dfrac{a^2}{2a}=1-\dfrac{a}{2}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{b^2+1}\ge1-\dfrac{b}{2}\); 

\(\dfrac{1}{c^2+1}\ge1-\dfrac{c}{2}\)

Cộng vế:

\(P\ge3-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Áp dụng BĐT bunhiacop ski dạng phân thức(cauchy schwart)

`=>A>=(a+b+c)^2/(a+b+b+c+a+c)`

`<=>A>=(a+b+c)^2/(2(a+b+c))=(a+b+c)/2`

Mà `a+b+c=6`

`=>A>=6/2=3`

Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c=2`

Câu hỏi của Thu Nguyễn - Toán lớp 9 - Học trực tuyến OLM

tham khảo ^^