Lời giải:

Sửa: $x^2\geq y^2+z^2$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$P\geq \frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{7x^2}{2}.\frac{4}{y^2+z^2}+2007$

$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{14x^2}{y^2+z^2}+2007$

$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$

$\geq 2+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$ (áp dụng BĐT Cô-si)

$\geq 2+13+2007=2022$ (do $x^2\geq y^2+z^2$)

Vậy $P_{\min}=2022$

\(B=\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{y^2}\right)\)

\(=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1-\dfrac{1}{y}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\)

\(=\dfrac{x-1}{x}\cdot\dfrac{y-1}{y}\cdot\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\)

\(=\dfrac{x-\left(x+y\right)}{x}\cdot\dfrac{y-\left(x+y\right)}{y}\cdot\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\)

\(=\dfrac{\left(-y\right)\left(-x\right)}{xy}\cdot\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\)

\(=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\)

\(=1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{xy}\ge1+\dfrac{4}{x+y}+\dfrac{1}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}=1+\dfrac{4}{1}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=9\)

Vậy \(B_{min}=9\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

Hướng dẫn: đặt \(A=\dfrac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\dfrac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)

Khi đó \(F-A=x-y+y-z+z-x=0\Rightarrow F=A\)

\(\Rightarrow2F=F+A=\sum\dfrac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\sum\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\sum\dfrac{\left(x+y\right)^2\left(x^2+y^2\right)}{4\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)

\(\Rightarrow2F\ge\dfrac{x+y+z}{2}\Rightarrow F\ge\dfrac{x+y+z}{4}\)

Theo bđt Cauchy schwarz dạng Engel 

\(P\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{1+1}=\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]^2}{2}\)

Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(bđt phụ) 

\(\Rightarrow P\ge\frac{\left[2.1+4\right]^2}{2}=\frac{36}{2}=18\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

\(P=\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2x+\dfrac{1}{x}+2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2x+2y+\dfrac{4}{x+y}\right)^2=18\)

\(P_{min}=18\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Cho mình hỏi bạn Nguyễn Huy Tú, hãy giải thích cho mình hiểu về bất đẳng thức Cauchy schawarz (Định lý, chứng minh,..). Đây là lần đầu tiên mình được nghe tên về bất đẳng thức này nên mong bạn giải thích dễ hiểu. Chúc bạn ngày một thành công hơn trong con đường học vấn của mình !

Ta có:

\(x^2+1=x^2+xy+yz+zx\)

           \(=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

Tương tự:

\(\left\{{}\begin{matrix}y^2+1=\left(y+z\right)\left(y+x\right)\\z^2+1=\left(z+y\right)\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)

\(A=x\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}+y\sqrt{\dfrac{\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)

\(=x\left|y+z\right|+y\left|z+x\right|+z\left|x+y\right|\)

TH1: x,y,z <0

\(A=-x\left(y+z\right)-y\left(z+x\right)-z\left(x+y\right)=-2\)

TH2: x,y,z>0

\(A=x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)=2\)

Ta có \(1+z^2=xy+yz+zx+z^2\)

\(=y\left(x+z\right)+z\left(x+z\right)\)

\(=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)

CMTT, \(1+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\) và \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)

Do đó \(\sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}\) \(=\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

\(=\sqrt{\left(y+z\right)^2}\) \(=\left|y+z\right|\)

 Tương tự như thế, ta được

\(A=x\left|y+z\right|+y\left|z+x\right|+z\left|x+y\right|\)

 Cái này không tính ra số cụ thể được nhé bạn. Nó còn phải tùy vào dấu của \(x+y,y+z,z+x\) nữa.

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$S=1+\frac{2xy}{x^2+y^2}+2+\frac{x^2+y^2}{xy}$

$=3+\frac{2xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{2xy}+\frac{x^2+y^2}{2xy}$

$\geq 3+2\sqrt{\frac{2xy}{x^2+y^2}.\frac{x^2+y^2}{2xy}}+\frac{2xy}{2xy}$

$=3+2+1=6$

Vậy $S_{\min}=6$ khi $x=y$

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

\(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(1+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge2\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left(x+\dfrac{1}{y}\right)\)

\(\Leftrightarrow............\ge2\left(xy+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{1}{xy}\right)\ge2\left(2\sqrt{xy\cdot\dfrac{1}{xy}}+2\sqrt{\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{y}{x}}\right)=2\cdot4=8\)

Vậy:.......

Cái này bổ sung, mk quên giải chung với cái kia

GTNN của A khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}=y+\dfrac{1}{y}\\x+y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2+1}{x}=\dfrac{y^2+1}{y}\\x+y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x+y=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

Vậy:GTNN của A là 8 khi x=y=1/2

Áp dụng BĐT Cauchy schwarz dưới dạng en-gel ta có :

\(A=\left(\dfrac{1}{x}+x\right)^2+\left(\dfrac{1}{y}+y\right)^2\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+x+y\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{4}{x+y}+\left(x+y\right)\right)^2}{2}=\dfrac{25}{2}\)

Vậy GTNN của A là \(\dfrac{25}{2}\) . Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)