giúp  mình với nhé    

1.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\dfrac{a}{2a+a+b+c}=\dfrac{a}{25}.\dfrac{\left(2+3\right)^2}{2a+a+b+c}\le\dfrac{a}{25}\left(\dfrac{2^2}{2a}+\dfrac{3^2}{a+b+c}\right)=\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{a}{a+b+c}\)

Tương tự:

\(\dfrac{b}{3b+a+c}\le\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{b}{a+b+c}\)

\(\dfrac{c}{a+b+3c}\le\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{c}{a+b+c}\)

Cộng vế:

\(VT\le\dfrac{6}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=\dfrac{3}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

2.

Đặt \(\dfrac{x}{x-1}=a;\dfrac{y}{y-1}=b;\dfrac{z}{z-1}=c\)

Ta có: \(\dfrac{x}{x-1}=a\Rightarrow x=ax-a\Rightarrow a=x\left(a-1\right)\Rightarrow x=\dfrac{a}{a-1}\)

Tương tự ta có: \(y=\dfrac{b}{b-1}\) ; \(z=\dfrac{c}{c-1}\)

Biến đổi giả thiết:

\(xyz=1\Rightarrow\dfrac{abc}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}=1\)

\(\Rightarrow abc=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca=a+b+c-1\)

BĐT cần chứng minh trở thành:

\(a^2+b^2+c^2\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-2\left(a+b+c-1\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

b)\(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}\)

Ta có:

\(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}\) và \(\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{c+a}{b}\)

\(\Rightarrow1+\dfrac{a+b}{c}=1+\dfrac{b+c}{a}\)và \(1+\dfrac{b+c}{a}=1 +\dfrac{c+a}{b}\)

\(\Rightarrow\dfrac{c}{c}+\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{a}+\dfrac{b+c}{a}\)và \(\dfrac{a}{a}+\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{b}{b}+\dfrac{c+a}{b}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c}{c}=\dfrac{a+b+c}{a}\)và \(\dfrac{a+b+c}{a}=\dfrac{a+b+c}{b}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c}{c}-\dfrac{a+b+c}{a}=0\) \(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\cdot\left(\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{a}\right)=0\)

và \(\dfrac{a+b+c}{a}-\dfrac{a+b+c}{b}=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\cdot\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)=0\)

+) Vì a,b,c đôi một khác 0

\(\Rightarrow a+b+c=0\)

\(\rightarrow a+b=\left(-c\right)\)

\(\rightarrow a+c=\left(-b\right)\)

\(\rightarrow b+c=\left(-a\right)\)

+) Ta có:

\(M=\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\cdot\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\cdot\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)

\(=\left(\dfrac{a+b}{b}\right)\cdot\left(\dfrac{b+c}{a}\right)\cdot\left(\dfrac{c+a}{c}\right)\)

\(=\dfrac{-c}{b}\cdot\dfrac{-a}{c}\cdot\dfrac{-b}{a}\)

\(=\left(-1\right)\)

Bài 2:

a)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\)

=> a = b = c

b)

\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{x}\)

=> x = y = z (theo a)

Thay x = y = z vào biểu thức, ta có:

\(M=\dfrac{x^{333}.x^{666}}{x^{999}}=1\)

c)

\(ac=b^2\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}\)

\(ab=c^2\Rightarrow\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}\Rightarrow a=b=c\)

Thay a = b = c vào biểu thức, ta có:

\(M=\dfrac{a^{333}}{a^{111}.a^{222}}=1\)

Bài 1 chưa nhìn kĩ lắm nhưng thấy câu c tự dưng thọt vào cái chứng minh ngay hai cái đó bằng nhau luôn à ? c và d thỏa mãn điều kiện gì ?

Chắc câu a b cũng thiếu đk nốt nhìn nhói tim quá :v

Chắc đề là \(x+y+z=3\)

Ta có: 

\(\left(2x+y+z\right)^2=\left(x+y+x+z\right)^2\ge4\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{x}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{4\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{z}{4\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)}{4\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\dfrac{xy+yz+zx}{2\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)

Mặt khác:

\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)-xyz\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-\sqrt[3]{xyz}.\sqrt[3]{xy.yz.zx}\)

\(\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-\dfrac{1}{3}.\left(x+y+z\right).\dfrac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)\)

\(=\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(zy+yz+zx\right)=\dfrac{8}{3}\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{xy+yz+zx}{2.\dfrac{8}{3}\left(xy+yz+zx\right)}=\dfrac{3}{16}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

ĐK: \(x\ne b;x\ne c\)

Phương trình tương đương:

\(\dfrac{2}{b-x}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{c-x}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)\)

TH1: Nếu \(a=b\Rightarrow\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}\Rightarrow\) pt tương đương \(0=0\) \(\Rightarrow\) đúng với mọi x

TH2: nếu \(a\ne b\), chia cả 2 vế cho \(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\) ta được:

\(\dfrac{2}{b-x}=\dfrac{1}{c-x}\Leftrightarrow2c-2x=b-x\Leftrightarrow x=2c-b\)

Khó vậy mày.

ĐK: 

Phương trình tương đương:

a=b⇒1a=1b⇒a=b⇒1a=1b⇒ pt tương đương   đúng với mọi x

TH2: nếu , chia cả 2 vế cho 2b−x=1c−x⇔2c−2x=b−x⇔x=2c−b

Em tham khảo ở đây:

xét các số thực a,b,c (a≠0) sao cho phương trình ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm m, n thỏa mãn \(0\le m\le1;0\le m\le1\). tìm GTN... - Hoc24

Max thì đơn giản thôi em:

Do \(0\le m;n\le1\Rightarrow0< 2-mn\le2\)

\(\Rightarrow M=\dfrac{\left(2-mn\right)\left(m+n+1\right)}{mn+m+n+1}\le\dfrac{2\left(m+n+1\right)}{mn+m+n+1}\le\dfrac{2\left(m+n+1\right)}{m+n+1}=2\)

\(M_{max}=2\) khi \(mn=0\)

Đề thiếu điều kiện \(\dfrac{a+b-c}{c}=\dfrac{b+c-a}{a}=\dfrac{c+a-b}{b}\) nữa đấy

Ta có:

\(\dfrac{a+b-c}{c}=\dfrac{b+c-a}{a}=\dfrac{c+a-b}{b}\)

\(=\dfrac{a+b-c+b+c-a+c+a-b}{a+b+c}\)

\(=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}\)

\(=1\)

Với \(\dfrac{a+b-c}{c}=1\)

\(\Rightarrow a+b-c=c\)

\(\Rightarrow a+b=2c\left(1\right)\)

Với \(\dfrac{b+c-a}{a}=1\)

\(\Rightarrow b+c-a=a\)

\(\Rightarrow b+c=2a\left(2\right)\)

Với \(\dfrac{c+a-b}{b}=1\)

\(\Rightarrow c+a-b=b\)

\(\Rightarrow c+a=2b\left(3\right)\)

Ta lại có:

\(\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)

\(=\left(\dfrac{b}{b}+\dfrac{a}{b}\right)\left(\dfrac{c}{c}+\dfrac{b}{c}\right)\left(\dfrac{a}{a}+\dfrac{c}{a}\right)\)

\(=\dfrac{a+b}{b}.\dfrac{b+c}{c}.\dfrac{a+c}{a}\)

Thay (1) , (2) và (3) vào ta được

\(=\dfrac{2c}{b}.\dfrac{2a}{c}.\dfrac{2b}{a}\)

\(=\dfrac{8abc}{abc}\)

\(=8\)