cách 1: đặt a = x+2 ,=> A= (a-3)⁴+(a+3)⁴-120

tách ra là ổn

cách 2 : áp dụng BĐT bunyakovsky:

(1+1)(a²+b²)\(\ge\)(a+b)²=> a²+b²\(\ge\)\(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)(dấu = xảy ra khi a=b)

A= (x-1)⁴+(x+5)⁴-120=(1-x)⁴+(x+5)⁴-120\(\ge\)\(\frac{1}{2}\left[\left(x-1\right)^2+\left(x+5\right)^2\right]^2-120\)

\(A\ge\frac{1}{2}\left(2x^2+8x+26\right)^2-120=\frac{1}{2}\left[2\left(x+2\right)^2+18\right]^2-120\ge\frac{18^2}{2}-120=42\)

dấu = xảy ra khi 1-x=x+5 và x+2=0

=> x=-2

Ta có: (x-1)\(^4\) \(\ge\) 0 với mọi x

(x+5)\(^4\) \(\ge\) 0 với mọi x

\(\Rightarrow\) (x-1)\(^4\) + (x+5)\(^4\) \(\ge\) 0 với mọi x

\(\Rightarrow\) (x-1)\(^4\) + (x+5)\(^4\) -120 \(\ge\) -120 với mọi x

=> A\(\ge\) -120

=> GTNN của A bằng -120

sai nhé Phạm Thanh Trí Đức

tớ hỏi cậu: GTNN của A=-120 khi x bằng mấy

y^4+(y+6)^4-120

đạt được y=-3

thay vào => ...

2.3^4-120=81.2-120=162-120=42

vì ( x - 1 )^4 > O với mọi x thuộc R

   ( X + 5 )^4 > O với mọi x thuộc R

-> ( x - 1 )^4 + ( x + 5 )^4 -120 > -120 với mọi x thuộc R

Dấu bằng xẩy ra khi x - 1 = 0 -> x = 1

                              x + 5 = 0 -> x = -5

Vậy GTNN của biểu thức là -120 tại x= 1 hơăc x = -5

1.

$x(x+2)(x+4)(x+6)+8$

$=x(x+6)(x+2)(x+4)+8=(x^2+6x)(x^2+6x+8)+8$

$=a(a+8)+8$ (đặt $x^2+6x=a$)

$=a^2+8a+8=(a+4)^2-8=(x^2+6x+4)^2-8\geq -8$

Vậy $A_{\min}=-8$ khi $x^2+6x+4=0\Leftrightarrow x=-3\pm \sqrt{5}$

2.

$B=5+(1-x)(x+2)(x+3)(x+6)=5-(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)$

$=5-(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)$

$=5-[(x^2+5x)^2-6^2]$

$=41-(x^2+5x)^2\leq 41$

Vậy $B_{\max}=41$. Giá trị này đạt tại $x^2+5x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$

3.

Đặt $x+3=a; 7-x=b$ thì $a+b=10$ 

$C=a^4+b^4$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^4+b^4)(1+1)\geq (a^2+b^2)^2$

$\Rightarrow C\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$
$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2=100$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq 50$

$\Rightarrow C\geq \frac{50^2}{2}=1250$

Vậy $C_{\min}=1250$

Giá trị này đạt tại $a=b=5\Leftrightarrow x=2$

a) GTNN = 0 khi x = -1

b) GTNN = 503 khi x =0

Ta có:\(\left|x+1\right|\ge0;\left|3x+4\right|\ge0;\left|x-1\right|\ge0\)

\(\Rightarrow Min_A=5\)

\(A\le\sqrt{\left(3^2+4^2\right)\left(x-1\right)\left(5-x\right)}=10\)

\(A_{max}=10\) khi \(\dfrac{\sqrt{x-1}}{3}=\dfrac{\sqrt{5-x}}{4}\Rightarrow x=\dfrac{61}{25}\)

\(A=3\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\right)+\sqrt{5-x}\ge3\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\right)\ge3\sqrt{x-1+5-x}=6\)

\(A_{min}=6\) khi \(x=5\)

+) Xét Ix-1I + Ix-5I

Áp dụng BĐT: \(|a|+|b|\)\(\ge\)\(|a-b|\),ta có:

\(|x-1|+|x-5|\ge|x-1-x+5|=4\)

Dấu "=" xảy ra khi (x-1)(x-5) \(\le\)0

+) Xét Ix-2I + Ix-4I

Áp dụng BĐT: \(|a|+|b|\)\(\ge\)\(|a-b|\),ta có:

\(|x-2|+|x-4|\ge|x-2-x+4|=2\)

Dấu "=" xảy ra khi (x-2)(x-4) \(\le\)0

+) Xét Ix-3I

Vì Ix-3I\(\ge\)0 

Dấu "=' xảy ra khi x-3=0 hay x=3

Suy ra: A = Ix-1I + Ix-2I + Ix-3I + Ix-4I + Ix-5I + 2019 \(\ge\)4+2+0+2019 = 2025

Dấu"=" xảy ra khi x=3

Vậy gtnn của A là 2025 tại x=3

khi làm bài dạng này cần xét từng cặp có độ "chênh đơn vị" nhỏ dần,rồi đến cái cuối cùng xét riêng nó lấy x,đó là gt đúng của x

Phải là Bất đẳng thức :  \(|a|+|b|\ge|a+b|\) chứ