a) A = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ +...+ 2²⁰¹⁰

=> A = (2 + 2²) + 2².(2 + 2²) + ... + 2²⁰⁰⁸.(2 + 2²)

=> A = 6 + 2².6 + ... + 2²⁰⁰⁸.6

=> A = 6 . (1 + 2² + ... + 2²⁰⁰⁸) \(⋮\)3 => A \(⋮\)3.

A = 2¹ + 2² + 2³ +...+ 2²⁰¹⁰

=> A = (2¹ + 2² + 2³) + ... + (2²⁰⁰⁸ + 2²⁰⁰⁹ + 2²⁰¹⁰)

=> A = 14 + ... + 2²⁰⁰⁷.(2 + 2² + 2³)

=> A = 14 + ... + 2²⁰⁰⁷.14

=> A = 14.(1+...+2²⁰⁰⁷) \(⋮\)7 => A \(⋮\)7

b) Để B chia hết cho 4 thì bạn gộp 2 số lại ( được 1 thừa số là 12 ) => B chia hết cho 4.

Để B chia hết cho 7 thì bạn gộp 3 số lại ( được 1 thừa số là 39 ) => B chia hết cho 13.

Sorry, bài B không làm chặt chẽ được vì mình bận đi học rồi.

Chúng bạn học tốt.

cho mình hỏi bạn Phúc lí do vì sao lại là 2 mũ 2008

a) Ta có:

(5^2n+1) + (2^n+4) + (2^n+1) = (25^n).5 - 5.(2^n) + (2^n).( 5 + 2^4 +2) = 5.( 25^n - 2^n ) + 23.2^n chia hết cho 23.  

Lời giải:

a) 

\(5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}=5.25^n+16.2^n+2.2^n\)

\(\equiv 5.2^n+16.2^n+2.2^n\pmod {23}\)

\(\equiv 23.2^n\equiv 0\pmod {23}\)

Ta có đpcm.

b) 

\(2^{2n+2}+24n+14\) hiển nhiên chia hết cho $2(1)$

Mặt khác:

Nếu $n=3k+1$:

$2^{2n+2}+24n+14=2^{6k+4}+72k+38$

$=16.2^{6k}+72k+38\equiv 16+72k+38=54+72k\equiv 0\pmod 9$

Nếu $n=3k$:

$2^{2n+2}+24n+14=2^{6k+2}+72k+14=4.2^{6k}+72k+14$

$\equiv 4+72k+14=18+72k\equiv 0\pmod 9$

Nếu $n=3k+2$:

$2^{2n+2}+24n+14=2^{6k+6}+72k+62\equiv 1+72k+62$

$\equiv 63+72k\equiv 0\pmod 9$

Vậy tóm lại $2^{2n+2}+24n+14$ chia hết cho $9$ (2)

Từ $(1);(2)\Rightarrow 2^{2n+2}+24n+14\vdots 18$ (đpcm)

Tham khảo

 \(a.\left(a^2-1\right)=a.\left(a-1\right).\left(a+1\right)\)

Vậy đây là tích của 3 số nguyên liên tiếp

Nếu a chẵn thì a chia hết cho 2 => a.(a-1).(a+1) chia hết cho 2

Nếu a lẻ thì a chia 2 dư 1=> a+1 chia hết cho 2=> a.(a-1).(a+1) chia hết cho 2

Vậy a.(a-1).(a+1) chia hết cho 2 với mọi a (1)

Nếu a chia hết cho 3=> a.(a-1).(a+1) chia hết cho 3

Nếu a chia 3 dư 1=> a-1 chia hết cho 3=> a.(a-1).(a+1) chia hết cho 3

Nếu a chia 3 dư 2=> a+1 chia hết cho 3=> a.(a-1).(a+1) chia hết cho 3

Vậy a.(a-1).(a+1) chia hết cho 3 với mọi a (2)

Từ (1) và (2) => a.(a-1).(a+1) chia hết cho 6

Hay \(a.\left(a^2-1\right)\) chia hết cho 6

2A=2¹+2²+........+2¹²

2A-A=(2¹+2²+........+2¹²)-(1+2+2²+...........+2¹¹)

A =2¹²-1

A=4095

A = 4²⁵ + 8¹⁶ = 2⁵⁰ + 2⁴⁸ = 2⁴⁸.(2² + 1) = 2⁴⁸.5 = 2⁴⁷.2.5 = 2⁴⁷.10 chia hết cho 5 và cho 10