`a)P(x)+Q(x)=x^5-2x^2+1`

`=>Q(x)=x^5-2x^2+1-P(x)`

`=>Q(x)=x^5-2x^2+1-x^4+3x^2-1/2+x`

`=>Q(x)=x^5-x^4+x^2+x+1/2`

______________________________________________

`b)P(x)-R(x)=x^3`

`=>R(x)=P(x)-x^3`

`=>R(x)=x^4-3x^2+1/2-x-x^3`

`=>R(x)=x^4-x^3-3x^2-x+1/2`

Ta có:

\(P\left(x\right)+Q\left(x\right)=x^5-2x^2+1\)

\(\Rightarrow Q\left(x\right)=P\left(x\right)-\left(x^5-2x^2+1\right)\)

\(=x^4-3x^2+\dfrac{1}{2}-x-x^5+2x^2-1\)

\(=-x^5+x^4-x^2-x-\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(Q\left(x\right)=-5^2+x^4-x^2-x-\dfrac{1}{2}\)

a) <=> Q(x) = (x⁵ - 2x² + 1) - P(x)

= (x⁵ - 2x² + 1) - (x⁴ - 3x² + 1/2 - x)

= x⁵ - 2x² + 1 - x⁴ + 3x² + x - 1/2

= x⁵ - x⁴ + x² + x + 1/2

Vậy Q(x) = x⁵ - x⁴ + x² + x + 1/2

b Ta có \(\Lambda ABE=\dfrac{1}{2}sđ\cap BE,\Lambda AFB=\dfrac{1}{2}sđ\cap BE\Rightarrow\Lambda ABE=\Lambda AFB\)

Mà \(\Lambda EAB=\Lambda BAF\) \(\Rightarrow\Delta EAB\sim\Delta BAF\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{EA}{BA}=\dfrac{AB}{ÀF}\Rightarrow AE\cdot AF=AB^2\left(1\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng giác vào \(\Delta AOB\) có:(BH vuông góc với AO)

\(\Rightarrow AH\cdot AO=AB^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AH\cdot AO=AE\cdot AF\)

a) Xét tứ giác ABOC có

\(\widehat{ABO}\) và \(\widehat{ACO}\) là tứ giác nội tiếp

\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: ABOC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Xét (O) có

\(\widehat{BFE}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{BE}\)

\(\widehat{ABE}\) là góc tạo bởi dây cung BE và tiếp tuyến BA

Do đó: \(\widehat{BFE}=\widehat{ABE}\)(Hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

\(\Leftrightarrow\widehat{BFA}=\widehat{EBA}\)

Xét ΔBFA và ΔEBA có 

\(\widehat{BFA}=\widehat{EBA}\)(cmt)

\(\widehat{ABF}\) là góc chung

Do đó: ΔBFA∼ΔEBA(g-g)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AB}{AE}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AB^2=AF\cdot AE\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔBOA vuông tại B có BH là đường cao ứng với cạnh huyền AO, ta được:

\(AB^2=AH\cdot AO\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AF\cdot AE=AH\cdot AO\)(đpcm)

c Nối OM \(\Rightarrow OM\) vuông góc với EF(do OM là đường nối từ tâm O đến trung điểm của dây cung EF)

\(\Rightarrow\Lambda AMO=\Lambda AHK=90^0\) Mà \(\Lambda OAM=\Lambda KAH\)

\(\Rightarrow\Delta OAM\sim\Delta KAH\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{AM}{AH}=\dfrac{AO}{AK}\Rightarrow AM\cdot AK=AH\cdot AO\left(3\right)\)

Từ câu b có \(AH\cdot AO=AE\cdot AF\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow AM\cdot AK=AE\cdot AF\Rightarrow\dfrac{1}{AM\cdot AK}=\dfrac{1}{AE\cdot AF}\Rightarrow\dfrac{1}{AK}=\dfrac{AM}{AE\cdot AF}\Rightarrow\dfrac{2}{AK}=\dfrac{2AM}{AE\cdot AF}\Rightarrow\dfrac{AE+AF}{AE\cdot AF}=\dfrac{2}{AK}\Rightarrow\dfrac{1}{AE}+\dfrac{1}{ÀF}=\dfrac{2}{AK}\Rightarrow\dfrac{AK}{AE}+\dfrac{AK}{AF}=2\)

Bài 3: 

a: Ta có: \(P=\left(\dfrac{2}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right):\dfrac{x}{x\sqrt{x}-\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}+2-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}\)

3.

b, ĐK: \(x>0;x\ne1\)

\(P< 1\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}< 1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-1< \sqrt{x}+2\)

\(\Leftrightarrow3>0\)

\(\Rightarrow P< 1\forall x>0;x\ne1\)

b) Để P nguyên thì \(\sqrt{x}+5⋮3\sqrt{x}-1\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x}+15⋮3\sqrt{x}-1\)

\(\Leftrightarrow16⋮3\sqrt{x}-1\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x}-1\in\left\{-1;1;2;4;8;16\right\}\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x}\in\left\{0;2;3;5;9;17\right\}\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{x}\in\left\{0;3;9\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;1;3\right\}\)
hay \(x\in\left\{0;1;9\right\}\)

a) Có \(\widehat{OAM}=90^0\) => Tam giác \(OAM\) nội tiếp đường tròn đường kính OM 

=> O,A,M cùng thuộc đường tròn đường kính OM (*)

Có \(\widehat{OBM}=90^0\) => Tam giác \(OBM\) nội tiếp đường tròn đường kính OM 

=> O,B,M cùng thuộc đường tròn đường kính OM (2*)

Do N là trung điểm của PQ => \(ON\perp PQ\)( Vì trong một đt, đường kính đi qua trung điểm của một dây ko đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy)

=> \(\widehat{ONM}=90^0\) => Tam giác \(ONM\) nội tiếp đường tròn đường kính OM 

=> O,N,M cùng thuộc đt đường kính OM (3*)

Từ (*) (2*) (3*) => O,M,N,A,B cùng thuộc đt đk OM hay đt bán kính \(\dfrac{OM}{2}\)

b) Có AM//PS (cùng vuông góc với OA)

Gọi E là gđ của PS với (O) => \(sđ\stackrel\frown{AE}=sđ\stackrel\frown{AP}\)

Có \(\widehat{PRB}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AE}+sđ\stackrel\frown{PB}\right)\)\(=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AP}+sđ\stackrel\frown{PB}\right)=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AB}\)

=> \(\widehat{PRB}=\widehat{MAB}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AB}\)

Có BNAM nội tiếp => \(\widehat{MAB}=\widehat{MNB}\)

\(\Rightarrow\widehat{PRB}=\widehat{MNP}\) => PRNB nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{BRN}=\widehat{BPN}\) mà \(\widehat{BPN}=\widehat{BAQ}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{BQ}\)

\(\Rightarrow\widehat{BRN}=\widehat{BAQ}\) => RN//AQ hay RN // SQ mà N la trung điểm của PQ

=> RN là đường TB của tam giác PSQ

=> R là trung điểm của PS <=> PR=RS