Ta có:

\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) ( luôn đúng )

Áp dụng:

\(G=\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\)

\(\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{2ab}+\frac{bc\left(b+c\right)}{2bc}+\frac{ca\left(c+a\right)}{2ca}\)

\(=\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\)

\(=a+b+c=2019\)

Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=673

Giá trị tuyệt đối A= | x - 2 | + | x - 5|

Ủa sao câu 1 bậc của vế trái lại khác bậc vế phải?

Ta có: \(\left(a^5+b^5\right)\left(a+b\right)\ge\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^6+ab^5+b^6+a^5b\right)\ge a^6+a^2b^4+a^4b^2+b^6\)

\(\Leftrightarrow ab^5+a^5b-a^2b^4-a^4b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(b^4+a^4-ab^3-a^3b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4-ab^3-a^3b\ge0\left(Vì:ab>0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)+\left(b^4-ab^3\right)\ge0\)

\(a^3\left(a-b\right)+b^3\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\left(luôn-đúng\forall a,b\right)\)

Vì: \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(a^2ab+b^2=a^2+ab+\frac{b^2}{4}+\frac{3}{4}b^2\)

\(=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3}{4}b^2\ge0\forall a,b\)

Từ trên ta suy ra: \(\left(a^5+b^5\right)\left(a+b\right)\ge\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)vớiab>0\left(đpcm\right)\)

a) Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc=VP\)

Vậy ta có đpcm.

\(\frac{a^2}{b+3c}+\frac{b^2}{c+3a}+\frac{c^2}{a+3b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4a+4b+4c}=\frac{a+b+c}{4}\)

P/S : sư phụ em tuổi già sức yếu , cầm cây bút cũng viết không nổi :v

bài này mình nghĩ chắc giả sử á , cũng chưa thử ((: 

để tí hỏi sư phụ xem đã 

Rút bớt 2 vế đi rồi đặt ẩn phụ là ra:D

Áp dụng BĐT Bunyacovsky cho hai bộ ba số (a,b,c) và (1,1,1) ta có:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Ta se cm:

\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\left(ld\right)\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge1\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)

Câu hỏi của Lê Văn Hoàng - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Quy định của hoc24 là chỉ dc dăng 1 bài trong 1 câu hỏi bạn nhé

bài 1 :

 Tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c và có chu vi là 2 
--> a + b + c = 2 

Trong 1 tam giác thì ta có: 
a < b + c 

--> a + a < a + b + c 
--> 2a < 2 
--> a < 1 

Tương tự ta có : b < 1, c < 1 

Suy ra: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0 
⇔
(1 – b – a + ab)(1 – c) > 0 
⇔
1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0 
⇔
1 – (a + b + c) + ab + bc + ca > abc 

Nên abc < -1 + ab + bc + ca 
⇔
2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca 
⇔
a² + b² + c² + 2abc < a² + b² + c² – 2 + 2ab + 2bc + 2ca 
⇔ a² + b² + c² + 2abc < (a + b + c)² - 2 
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2² - 2 , do a + b = c = 2 
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2 

--> đpcm 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM 3 số không âm :

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}=3\sqrt[3]{1}=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\Leftrightarrow a=b=c\)

MInh cam on nhe!

Em có cách này nhưng không chắc. Hình như tên là bán Schur-bán SOS thì phải ạ!

\(f\left(a;b;c\right)=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2+\frac{b}{c}-\frac{b-c}{a}-1\)

\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\left(\frac{b}{c}-1\right)-\frac{\left(b-c\right)}{a}\)

\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{b-c}{c}-\frac{b-c}{a}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\frac{\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{ca}\)

Do a,b,c có tính chất hoán vị vòng quanh nên ta giả sử c là số nhỏ nhất (c = min{a;b;c} )suy ra f(a;b;c) \(\ge0\)

Từ đó suy ra \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3^{\left(đpcm\right)}\)