1.

Gọi \(I\left(x;y\right)\) là tâm đường tròn \(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\left(x-1;y-3\right)\)

Do đường tròn tiếp xúc với \(d_1;d_2\) nên:

\(d\left(I;d_1\right)=d\left(I;d_2\right)\Rightarrow\dfrac{\left|5x+y-3\right|}{\sqrt{26}}=\dfrac{\left|2x-7y+1\right|}{\sqrt{53}}\)

Chà, đề đúng ko em nhỉ, thế này thì vẫn làm được nhưng rõ ràng nhìn 2 cái mẫu kia thì số liệu sẽ xấu 1 cách vô lý.

2.

Phương trình đường thẳng kia là gì nhỉ? \(2x+y=0\) à?

1.

\(\left(C\right):x^2+y^2-2x-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+y^2=5\)

Đường tròn \(\left(C\right)\) có tâm \(I=\left(1;0\right)\), bán kính \(R=\sqrt{5}\)

Phương trình đường thẳng \(d_1\) có dạng: \(x+y+m=0\left(m\in R\right)\)

Mà \(d_1\) tiếp xúc với \(\left(C\right)\Rightarrow d\left(I;d_1\right)=\dfrac{\left|1+m\right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\left|m+1\right|=\sqrt{10}\)

\(\Leftrightarrow m=-1\pm\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d_1:x+y-1+\sqrt{10}=0\\d_1:x+y-1-\sqrt{10}=0\end{matrix}\right.\)

2.

Phương trình đường thẳng \(\Delta\) có dạng: \(x-y+m=0\left(m\in R\right)\)

Ta có: \(d\left(I;\Delta\right)=\sqrt{R^2-\dfrac{MN^2}{4}}=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|m+1\right|}{\sqrt{2}}=2\)

\(\Leftrightarrow m=-1\pm2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\Delta:x-y+1+2\sqrt{2}=0\\\Delta:x-y+1-2\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\)

3.

Vì \(P\in d\Rightarrow P=\left(m;m+1\right)\left(m\in R\right)\)

\(\Rightarrow IP=\sqrt{\left(m-1\right)^2+\left(m+1\right)^2}=\sqrt{2m^2+2}\)

Ta có: \(cosAIP=cos60^o=\dfrac{R}{IP}=\dfrac{\sqrt{5}}{IP}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow IP=2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2m^2+2}=2\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow2m^2+2=20\)

\(\Leftrightarrow m=\pm3\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}P=\left(3;4\right)\\P=\left(-3;-2\right)\end{matrix}\right.\)

`a)O(0;0), A(2;-2), B(-2;-2) in (P)`

`b)` Gọi `(d_1): y=ax+b`

Vì `(d_1) //// (d)=>a=2` và `b ne 1`

Thay `a=1`, ptr hoành độ của `(P)` và `(d_1)` là:

        `-1/2x^2=x+b`

`<=>x^2+2x+2b=0`    `(1)`

`(P)` tiếp xúc với `(d_1)<=>` Ptr `(1)` có nghiệm kép

   `=>\Delta'=0`

`<=>1-2b=0`

`<=>b=1/2`  (t/m)

   `=>` Ptr `(d_1): y=x+1/2`

Giả sử (C) tâm I ; BK R 

\(I\in d':2x+y=0\)  \(\Rightarrow I\left(t;-2t\right)\) 

 \(\Rightarrow R^2=IA^2=\left(t-4\right)^2+\left(-2t-2\right)^2\)  \(=5t^2+20\)

Ta có : \(IA=\dfrac{\left|t-7.\left(-2t\right)+10\right|}{\sqrt{1+7^2}}\)  \(\Rightarrow IA^2=\dfrac{\left(15t+10\right)^2}{50}=\dfrac{\left(3t+2\right)^2}{2}\)

Suy ra : \(5t^2+20=\dfrac{\left(3t+2\right)^2}{2}\)  \(\Leftrightarrow10t^2+40=9t^2+12t+4\)

\(\Leftrightarrow t^2-12t+36=0\) \(\Leftrightarrow t=6\)

Suy ra : \(I\left(6;-12\right)\) ; \(R^2=200\)

PT (C) : \(\left(x-6\right)^2+\left(y+12\right)^2=200\)

Do I thuộc \(2x+y=0\) nên tọa độ có dạng \(I\left(x;-2x\right)\)

Đường thẳng \(d_1\) qua A và vuông góc (d) có pt:

\(7\left(x-4\right)+1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow7x+y-30=0\)

Do (C) tiếp xúc (d) tại A nên I thuộc \(d_1\)

Thay tọa độ I vào pt \(d_1\Rightarrow7x+\left(-2x\right)-30=0\Rightarrow x=6\)

\(\Rightarrow I\left(6;-12\right)\Rightarrow R^2=IA^2=200\)

Phương trình: \(\left(x-6\right)^2+\left(y+12\right)^2=200\)

Do đường thẳng đã cho đi qua A(−1,0)A(−1,0) nên

0=−a+b0=−a+b

<−>a=b<−>a=b

Xét ptrinh hoành độ giao điểm

12x2=ax+a12x2=ax+a

<−>x2−2ax−2a=0<−>x2−2ax−2a=0

Do hai đồ thị tiếp xúc nên ptrinh trên có 1 nghiệm duy nhất, tức là Δ′=0Δ′=0 hay

a2+2a=0a2+2a=0

<−>a(a+2)=0<−>a(a+2)=0

Vậy a=0a=0 hoặc a=−2a=−2

Do a≠0a≠0 nên a=−2a=−2.

Vậy y=−2x−2y=−2x−2

1, - Xét phương trình hoành độ giao điểm :\(2x^2=ax+b\)

\(\Rightarrow2x^2-ax-b=0\left(I\right)\)

Mà (P) tiếp xúc với d .

Nên PT ( I ) có duy nhất một nghiệm .

\(\Leftrightarrow\Delta=\left(-a\right)^2-4.2.\left(-b\right)=a^2+8b=0\)

Lại có : d đi qua A .

\(\Rightarrow b+0a=-2=b\)

\(\Rightarrow a=4\)

2. Tương tự a

3. - Xét phương trình hoành độ giao điểm :\(2x^2=2m+1\)

\(\Rightarrow2x^2-2m-1=0\)

Có : \(\Delta^,=\left(-m\right)^2-\left(-1\right).2=m^2+3\)

=> Giao điểm của P và d là : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{m+\sqrt{m^2+3}}{2}\\x_2=\dfrac{m-\sqrt{m^2+3}}{2}\end{matrix}\right.\)