a) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=2\\mx-2y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+m^2y=2m\\mx-2y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2y+2y=2m-1\\mx-2y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\left(m^2+2\right)=2m-1\\mx=1+2y\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\\x=\dfrac{1+2y}{m}=\left(1+\dfrac{2m-1}{m^2+2}\right)\cdot\dfrac{1}{m}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m^2+2+2m-1}{m^2+2}\cdot\dfrac{1}{m}=\dfrac{m^2+2m+1}{m\left(m^2+2\right)}\\y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\end{matrix}\right.\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x>0 và y>0 thì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m^2+2m+1}{m\left(m^2+2\right)}>0\\\dfrac{2m-1}{m^2+2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\2m-1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m>\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m>\dfrac{1}{2}>0\)

Vậy: Khi m>0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn x>0 và y>0

\(\left(m^2-1\right)x-8m+9-m^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2-8m-1\right)x\ge m^2-9\)

- Với \(m=4+\sqrt{17}\) ko thỏa mãn

- Với \(m=4-\sqrt{17}\) thỏa mãn

- Với \(m\ne4\pm\sqrt{17}\)

Pt nghiệm đúng với mọi \(x\ge0\) khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m^2-8m-1>0\\\dfrac{m^2-9}{m^2-8m-1}\le0\\\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-8m-1>0\\m^2-9\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-3\le m< 4-\sqrt{17}\)

Vậy \(-3\le m\le4-\sqrt{17}\)

- Với \(m=\pm1\) không thỏa mãn

- Với \(m\ne\pm1\) ta có: 

\(\Delta'=16m^2-\left(m^2-1\right)\left(9-m^2\right)=\left(m^2+3\right)^2>0\) ; \(\forall m\)

\(\Rightarrow\) BPT đã cho đúng với mọi \(x\ge0\) khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}m^2-1>0\\x_1< x_2\le0\end{matrix}\right.\) (pt hệ số a dương đồng thời có 2 nghiệm ko dương)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=m^2-1>0\\x_1+x_2=\dfrac{8m}{m^2-1}< 0\\x_1x_2=\dfrac{9-m^2}{m^2-1}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-3\le m< -1\)

(Nếu \(\Delta\) không luôn dương với mọi m, ví dụ dạng \(\Delta=m^2-3m+2\) chẳng hạn thì còn 1 TH thỏa mãn nữa là \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta\le0\end{matrix}\right.\))

1.

Đặt \(x^2-2x+m=t\), phương trình trở thành \(t^2-2t+m=x\)

Ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2x+m=t\\t^2-2t+m=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x-t\right)\left(x+t-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=t\\x=1-t\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=x^2-2x+m\\x=1-x^2+2x-m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-x^2+3x\\m=-x^2+x+1\end{matrix}\right.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(y=-x^2+x+1\) và \(y=-x^2+3x\):

\(-x^2+x+1=-x^2+3x\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{5}{4}\)

Đồ thị hàm số \(y=-x^2+3x\) và \(y=-x^2+x+1\): 

Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(m< \dfrac{5}{4}\)

Mà \(m\in\left[-10;10\right]\Rightarrow m\in[-10;\dfrac{5}{4})\)

b) Thay x=2 vào pt, ta được:

\(4\left(m^2-1\right)-4m+m^2+m+4=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4-4m+m^2+m+4=0\)

\(\Leftrightarrow5m^2-3m=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(5m-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(x_1+x_2=\dfrac{2m}{m^2-1}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_2+2=0\\x_2+2=\dfrac{6}{5}:\left(\dfrac{36}{25}-1\right)=\dfrac{30}{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_2=-2\\x_2=\dfrac{8}{11}\end{matrix}\right.\)