1.

Do \(\overrightarrow{v}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u}\) nên \(\overrightarrow{v}=\left(a;a\right)\) với a là số thực khác 0

Chọn \(M\left(0;0\right)\) là 1 điểm thuộc d

Gọi M' là ảnh của M qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\Rightarrow M'\in d'\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=a+0=a\\y_{M'}=a+0=a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M'\left(a;a\right)\)

Thay vào pt d' ta được:

\(a+a-4=0\Rightarrow a=2\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{v}=\left(2;2\right)\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{v}\right|=2\sqrt{2}\)

2.

Gọi \(\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)\)

Gọi \(A\left(0;1\right)\) là 1 điểm thuộc d

Gọi A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{u}\Rightarrow A'\in d'\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=a\\y_{A'}=b+1\end{matrix}\right.\)

Thay tọa độ A' vào pt d' ta được: \(a+b+1-5=0\Leftrightarrow a+b=4\)

Ta có:

\(\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{a^2+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|_{min}=2\sqrt{2}\) khi \(a=b=2\)

3.

Gọi \(\overrightarrow{v}=\left(a;b\right)\Rightarrow a^2+b^2=4\) (1)

Gọi \(A\left(-1;-1\right)\) là 1 điểm thuộc d

Gọi A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\Rightarrow A'\in d'\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=-1+a\\x_{B'}=-1+b\end{matrix}\right.\)

Thay vào pt d':

\(2\left(a-1\right)+2\left(b-1\right)-1=0\)

\(\Leftrightarrow2a+2b=5\Rightarrow b=\frac{5-2a}{2}\)

Thế vào (1):

\(a^2+\left(\frac{5-2a}{2}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow8a^2-20a+9=0\)

Pt trên có 2 nghiệm pb nên có 2 vecto thỏa mãn

Câu 1:

Lấy $M(x,y)\in (d)$. $M'(x',y')=T_{\overrightarrow{v}}(M)$

\(\left\{\begin{matrix} x'-x=2\\ y'-y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x'-2\\ y=y'+1\end{matrix}\right.\)

Ảnh của $d$ qua phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$ có dạng:

$3(x'-2)-2(y'+1)+1=0$

$\Leftrightarrow 3x'-2y'-7=0$

Câu 2:

$M(x,y)$ là 1 điểm thuộc đường tròn $(C)$.

Lấy $M'(x',y')$ là 1 điểm thuộc $(C')$ là ảnh của $(C)$ qua $\overrightarrow{v}$

Khi đó, $M'=T_{\overrightarrow{v}}(M)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x'-x=-3\\ y'-y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x'+3\\ y=y'-5\end{matrix}\right.\)

PTĐTr $(C')$ có dạng:

$(x'+3)^2+(y'-5)^2-4(x'+3)+6(y'-5)+5=0$

$\Leftrightarrow x'^2+y'^2+2x'-4y'-3=0$

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=-2\overrightarrow{c}\)

\(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)^2=\left(-2\overrightarrow{c}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{a}^2+\overrightarrow{b}^2+\overrightarrow{c}^2+2\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}\right)=4\overrightarrow{c}^2\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{4x^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{2}=\dfrac{3x^2-y^2-z^2}{2}\)

Gọi `A(0;1)` và `B(1;3)` là 2 điểm thuộc `\Delta`

`T_(\vec v): \Delta -> \Delta'`

`<=> T_(\vec v): A(0;1) -> A'(3;0) ; B(1;3) -> B'(4;2)`

`=> \vec(A'B') (1;2)`

`=> \Delta' : 1(x-3)+2(y-0)=0 <=> x+2y-3=0`

`(C)` có: `I(1;-2)` và `R=\sqrt6 =R'`

`T_(\vec v): (C) -> (C') => T_(\vecv): I (1;-2) -> I'(4;-3)`

`=> (C'): (x-4)^2 +(y+3)^2=6`

Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;-2\right)\) bán kính \(R=3\)

Ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C') có tâm \(I'\left(x';y'\right)\) là ảnh của I qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\) và bán kính \(R'=R=3\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=-3+1=-2\\y'=1-2=-1\end{matrix}\right.\)

Phương trình (C'):

\(\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2=9\)

a) \(\sqrt{2x+2}-\sqrt{2x-1}=x\)

\(\Leftrightarrow2x+2+2x-1-2\sqrt{\left(2x+2\right)\left(2x-1\right)}=x^2\)

\(\Leftrightarrow4x+1-2\sqrt{\left(2x+2\right)\left(2x-1\right)}=x^2\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{4x^2+2x-2}=-x^2+4x+1\)( ĐK: \(2-\sqrt{5}\le x\le2+\sqrt{5}\))

\(\Leftrightarrow4\left(4x^2+2x-2\right)=\left(x^2-4x-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow16x^2+8x-8=x^4-8x^3+14x^2+8x+1\)

\(\Leftrightarrow x^4-8x^3-2x^2+9=0\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3-7x^3+7x^2-9x^2+9=0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-1\right)-7x^2\left(x-1\right)-9\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3-7x^2-9x-9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\left(chon\right)\\x=8,22...\left(loai\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=-1\)

b_em ko chắc đâu, chưa từng làm dạng toán chứa tham số-_-

ĐK: \(x^2\ge-m\) ( ko chắc)

PT<=> \(\left(x-3\right)\sqrt{x^2+m}=\left(x-3\right)\left(x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left[x+3-\sqrt{x^2+m}\right]=0\)

Thấy ngay x = 3 thỏa mãn. Xét cái ngoặc to

\(\Leftrightarrow x+3=\sqrt{x^2+m}\left(\text{thêm đk }x\ge-3\right)\Leftrightarrow6x+9=m\Leftrightarrow x=\frac{\left(m-9\right)}{6}\)

Do \(x\ge-3\text{nên }m\ge-9\)

Vậy...

c) ĐK: \(x^2\ge m\)

\(\frac{x^2-4}{\sqrt{x^2-m}+1}=0\)

Do mẫu số luôn lớn hơn 0 nên \(x^2-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy...

d) ĐK: \(7\ge x\ge4\)

\(\sqrt{x+3}-\sqrt{7-x}=\sqrt{2x-8}\)

\(\Leftrightarrow x+3+7-x-2\sqrt{\left(x+3\right)\left(7-x\right)}=2x-8\)

\(\Leftrightarrow10-2\sqrt{-x^2+4x+21}=2x-8\)

\(\Leftrightarrow9-x=\sqrt{-x^2+4x+21}\)

\(\Leftrightarrow x^2-18x+81=-x^2+4x+21\)

\(\Leftrightarrow2x^2-22x+60=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-11x+30=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=6\end{matrix}\right.\)

Vậy...

e) ĐK: \(-1\le x\le1\)

\(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=2-\frac{x^2}{4}\)

Áp dụng bđt Cô - si :

\(\sqrt{x+1}\le\frac{x+1+1}{2}=\frac{x+2}{2}\)

\(\sqrt{1-x}\le\frac{1+1-x}{2}=\frac{2-x}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\le\frac{x+2+2-x}{2}=2\)

Mà \(2-\frac{x^2}{4}\le2\forall x\)

Dấu "=" khi \(x=0\)

Đề kì kì, ta không đánh giá được ?

Giả thiết => cos \(\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{1}{2}\)

⇒ \(\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=60^0\)

\(\overrightarrow{x}\) ⊥ \(\overrightarrow{y}\)

⇒ \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{2a}-\overrightarrow{b}\right)=0\). Đặt \(\left|\overrightarrow{a}\right|=a;\left|\overrightarrow{b}\right|=b\)

⇒ 2a² - \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) + 2\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) - b² = 0

⇒ \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) = b² - 2a² = 4 - 4 = 0

⇒ \(\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=90^0\)