\(\overline{aa...abb...b}=\left(\overline{cc...c}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a.11...1.10^n+b.11...1=c^2.11...1^2\)

\(\Leftrightarrow a.10^n+b=c^2.11...1\)

\(\Leftrightarrow a.\left(9k+1\right)+b=c^2.k\)(với \(k=11...1\)(\(n\)chữ số \(1\))) 

\(\Leftrightarrow\left(c^2-9a\right)k=a+b\)

Với \(k=1\)ta có: \(c^2=10a+b\)ta có các bộ số: 

\(\left(1,6,4\right),\left(2,5,5\right),\left(3,6,6\right),\left(4,9,7\right),\left(6,4,8\right),\left(8,1,9\right)\)

Với \(k=11\)ta có \(11\left(c^2-9a\right)=a+b\)nên \(\hept{\begin{cases}a+b=11\\c^2-9a=1\end{cases}}\)ta có nghiệm duy nhất \(\left(7,4,8\right)\).

Với \(n>2\)ta thấy hiển nhiên không thỏa mãn do \(a+b< 19\). 

Ở đây mình làm trường hợp là nó đúng chỉ với 1 giá trị của \(n\). Do đó ta xét với \(n=1,n=2,...\), tức là \(k=1,k=11,...\). Còn nếu đề là đúng với mọi số nguyên dương \(n\)thì sẽ làm khác một chút, và ra đáp án là không tồn tại giá trị nào cả. 

\(\overline{aa...abb...b}+1=\left(cc...c+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a.k.10^n+b.k+1=\left(c.k+1\right)^2,k=11...1\)

\(\Leftrightarrow ak.\left(9k+1\right)+bk=c^2k^2+2ck\)

\(\Leftrightarrow a\left(9k+1\right)+b=c^2k+2c\)

\(\Leftrightarrow k\left(9a-c^2\right)=2c-b-a\)

Đẳng thức trên đúng với mọi \(k\inℕ^∗\)nên \(\hept{\begin{cases}9a-c^2=0\\2c-a-b=0\end{cases}}\)

Từ \(9a-c^2=0\)ta có các trường hợp \(\left(a,c\right)\in\left\{\left(1,3\right),\left(4,6\right),\left(9,9\right)\right\}\).

Kết hợp với \(2c-a-b=0\)ta có các trường hợp sau thỏa mãn: \(\left(a,b,c\right)\in\left\{\left(1,5,3\right),\left(4,8,6\right),\left(9,9,9\right)\right\}\).

Nguyễn Thành Trương, Vũ Minh Tuấn, Băng Băng 2k6, Trần Thanh Phương, Nguyễn Lê Phước Thịnh, tth,

Nguyễn Văn Đạt, Hồ Bảo Trâm, Lê Thị Thục Hiền, @Akai Haruma, @Nguyễn Việt Lâm

giúp e vs ạ! Cần gấp! Thanks!

Bài 1:

Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}A=\overline{abc}\\B=\overline{def}\end{matrix}\right.\left(100\le A;A,B\le999\right)\)

Khi đó ta có: \(999A=\left(A+B\right)\left(A+B-1\right)\)

Vì: \(A\le999\) nên:

\(\Rightarrow\left(A+B\right)\left(A+B-1\right)\le999^2\)

\(\Rightarrow A+B\le999\)

Xét các trường hợp \(A=999\) và \(A< 999\) từ đó :

\(\Rightarrow\overline{abcdef}=494209\)

Vậy số cần tìm là: \(494209\)

tớ mới học lớp 6 

Bài 1: n có 4 chữ số dạng 20ab => 20ab + 2 + a +b=2013 => 11a+b=11

a=0 => b=11(loại)

a=1 => b=0 => n=2010

với n<2000 => tổng các chữ số của n lớn nhất là: 1+9+9+9=28 => n  ≥ 2013-28=1985

xét n có dạng 19ab: 19ab+1+9+a+b=2013 => 11a+b=103

do n ≥ 1985 => a ≥ 8

a=8 => b=7,5 (loại)

a=9 => b=2 => n=1992

Bài 2: Chắc là hợp số :D

từ \(a^2+b^2+c^2=e^2+f^2+d^2\)

=> \(a^2+b^2+c^2\text{ ≡}d^2+e^2+f^2\)(mod 2)

=> \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)  ≡ \(d^2+e^2+f^2+2\left(de+ef+fd\right)\)(mod 2)

=>\(\left(a+b+c\right)^2\text{ ≡}\left(d+e+f\right)^2\) (mod 2)

=>a+b+c ≡ d+e+f (mod 2)

=> a+b+c+d+e+f chia hết cho 2