Để phương trình x^2 - 2m^2x - 4m - 1 = 0 có nghiệm nguyên, ta cần tìm giá trị của m sao cho delta (đại diện cho biểu thức bên trong căn bậc hai trong công thức nghiệm) là một số chính phương.

Công thức tính delta là: delta = b^2 - 4ac

Áp dụng vào phương trình đã cho, ta có:
a = 1, b = -2m^2, c = -4m - 1

delta = (-2m^2)^2 - 4(1)(-4m - 1)
= 4m^4 + 16m + 4

Để delta là một số chính phương, ta cần tìm các giá trị nguyên dương của m để đạt được điều kiện này. Ta có thể thử từng giá trị nguyên dương của m và kiểm tra xem delta có là số chính phương hay không.

Ví dụ, với m = 1, ta có:
delta = 4(1)^4 + 16(1) + 4
= 4 + 16 + 4
= 24

24 không phải là số chính phương.

Tiếp tục thử một số giá trị nguyên dương khác cho m, ta có:

Qua việc thử nghiệm, ta không tìm được giá trị nguyên dương của m để delta là một số chính phương. Do đó, không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì (m+2)(m-4)<0

=>-2<m<4

\(a+b+c=1-\left(2m+1\right)+2m=0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình có 2 nghiệm \(x=1\) ; \(x=2m\)

Để pt có 2 nghiệm pb \(\Rightarrow2m\ne1\Rightarrow m\ne\dfrac{1}{2}\)

\(\left|x_1^2-x_2^2\right|=35\)

\(\Leftrightarrow\left|4m^2-1\right|=35\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4m^2-1=35\\4m^2-1=-35\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2=9\\m^2=-\dfrac{17}{2}\left(vn\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=-3< 0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt x² + 2x + 4 = t . Điều kiện : t ≥ 3 

Phương trình đã cho trở thành t² - 2mt - 1 = 0 (1)

(1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = t² - 2mt - 1 với trục Ox (tức đường thẳng y = 0). Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi (1) có 2 nghiệm phân biệt t thỏa mãn t ≥ 3 

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = t² - 2mt - 1 

Nếu m > 3 thì yêu cầu bài toán thỏa mãn khi 

8 - 6m ≥ 0 ⇔ m ≤ \(\dfrac{4}{3}\) (không thỏa mãn m > 3)

Nếu m < 3, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi 

8 - 6t ≤ 0 ⇔ m ≥ \(\dfrac{4}{3}\) Vậy m ∈ \(\)[\(\dfrac{4}{3};3\))

Nếu m = 3 thì phương trình trở thành 

t² - 6t - 1 = 0 có 2 nghiệm thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=6\\t_1.t_2=-1\end{matrix}\right.\)

tức phương trình có 2 nghiệm trái dấu (không thỏa mãn điều kiện 2 nghiệm t ≥ 3) nên m = 3 không thỏa mãn yêu cầu bài toán 

Vậy tập hợp các giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là M = \(\left\{m\in R;\dfrac{4}{3}\le m< 3\right\}\)

\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-8\left(m-1\right)\)

\(=4m^2-4m+1-8m+8\)

\(=4m^2-12m+9=\left(2m-3\right)^2\)>=0

=>Phương trình luôn có hai nghiệm

\(\left|x_1-x_2\right|=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\dfrac{1-2m}{2}\right)^2-4\cdot\dfrac{m-1}{2}}=3\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}\left(4m^2-4m+1\right)-2\left(m-1\right)-3=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-m+\dfrac{1}{4}-2m+2-3=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-3m-\dfrac{3}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-12m-3=0\)

Đến đây bạn chỉ cần giải pt bậc hai là được rồi

Cho phương trình: x^2 - 2mx + 2(m - 2) = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương
đen ta'=m^2-2m+2
đen ta'=(m-1)^2+1
suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt 
để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương
khi và chỉ khi P<0 và S#0
suy ra 2(m-2)<0 và 2m#0
suy ra m<2 và m#0

Bài 1: 

a) Ta có: \(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\cdot m\cdot\left(m+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\Delta=4m^2-4m+1-4m^2-8m\)

\(\Leftrightarrow\Delta=-12m+1\)

Để phương trình có nghiệm kép thì \(\Delta=0\)

\(\Leftrightarrow-12m+1=0\)

\(\Leftrightarrow-12m=-1\)

hay \(m=\dfrac{1}{12}\)

b) Ta có: \(\Delta=\left(4m+3\right)^2-4\cdot2\cdot\left(2m^2-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\Delta=16m^2+24m+9-16m^2+8\)

\(\Leftrightarrow\Delta=24m+17\)

Để phương trình có nghiệm kép thì \(\Delta=0\)

\(\Leftrightarrow24m+17=0\)

\(\Leftrightarrow24m=-17\)

hay \(m=-\dfrac{17}{24}\)

Đề sai rồi bạn