CMR: Không có đa thức f(x) nào mà: \(f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+.........+a_1x+a_0\left(a_1,a_2,a_3,............,a_n\in Z\right)\) có thể nhận giá trị f(7)=15 và f(15)=9

Gọi \(a_0;a_1;a_2;...;a_n\) là các hệ số của đa thức \(f\left(x\right)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\) .

Hãy tính tổng các hệ số của đa thức\(A\left(x\right)=\left(x+1\right)^{2012}\)

Cho đa thức \(P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\)         (các hệ số là số nguyên) 

Chứng minh rằng nếu P(x) có một nghiệm \(x=x_0\)nhận giá trị nguyên (\(\ne0\)) thì x0 là một ước của a0

Cho \(P\left(x\right)=x^{16}+a_{15}x^{15}+a_{14}x^{14}+...+a_1x+a_0\), với \(a_i\in\left\{4,8,12,16\right\},\forall i=\overline{1,15}\). Chứng minh: \(P\left(x\right)+1\) bất khả quy trên Z[x].

cho f(x) là đa thức với hệ số nguyên; \(f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\) ( \(a_i\in Z,i=\overline{0,n}\) )

a,b là 2 số nguyên khác nhau. a) Cmr: \(f\left(a\right)-f\left(b\right)⋮a-b\)

b) Áp dụng : Cmr: không có đa thức f(x) nào với hệ số nguyeencos thể có giá trị f(7) = 5, f(15) = 9

Cho \(a_1,a_2,..,a_n\) là các số nguyên dương và n>1.

Đặt \(A=a_1a_2...a_n,\)  \(A_i=\dfrac{A}{a_i}\left(i=\overline{1,n}\right)\). CM các đẳng thức sau:

a) \(\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\left[A_1,A_2,...,A_n\right]=A\)

b) \(\left[a_1,a_2,..,a_n\right]\left(A_1,A_2,...,A_n\right)=A\)

Cho các đa thức :

         \(f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_1x+a_0\)

         \(g\left(x\right)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+....+b_1x+b_0\)

a) Tính \(f\left(x\right)+g\left(x\right)\)

b) Tính \(f\left(x\right)-g\left(x\right)\)

Cho \(\left(1+2x\right)^n=a_0+a_1x+...+a_nx^n\) và \(a_0+a_1+...+a_n=729\). Tìm n và số hạng thứ 5

Cho \(\left(a_n\right)\) thỏa mãn: \(a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_1+a_2+...+a_n}\) \(\left(a_1>0\right)\).

Tính \(lim\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\).