a) pt có 2 nghiệm dương <=> \(\Delta\ge0;\int^{x1+x2>0}_{x1.x2>0}\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2-4\left(m-4\right)\ge0;\int^{2m+2>0}_{m-4>0}\Leftrightarrow4m^2+4m+4+16\ge0;\int^{m>-1}_{m>4}\)

=> m>4. (cái kí hiệu ngoặc kia là kí hiệu và nha. tại trên này không có nên dùng tạm cái ý)

b) áp dụng hệ thức vi ét ta có: x1+x2=2m+2; x1.x2=m-4

 \(M=\frac{\left(x1+x2\right)^2-2x1x2}{x1-x1.x2+x2-x1.x2}=\frac{\left(2m+2\right)^2-2\left(m-4\right)}{2m+2-2\left(m-4\right)}=\frac{4m^2+6m+12}{10}=\frac{\left(4m^2+6m+\frac{9}{4}\right)+\frac{39}{4}}{10}=\frac{\left(2m+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{39}{4}}{10}\)

ta có: \(\left(2m+\frac{3}{2}\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(2m+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{39}{4}\ge\frac{39}{4}\Leftrightarrow\frac{\left(2m+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{39}{4}}{10}\ge\frac{39}{40}\)=> Min M=39/40 <=>m=-3/4

b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì (m+2)(m-4)<0

=>-2<m<4

\(\left(m+1\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m-3=0\) (1)

a) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m+1\right)\left(m-3\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2-2m+1\right)-\left(m^2-2m-3\right)>0\) 

\(\Leftrightarrow4>0\)(luôn đúng)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Để t nghĩ tí

ý b kìa ý a mình biết rồi

b,ta có x1.x2=\(\frac{c}{a}=\frac{m-3}{m+1}\)>0=>\(\orbr{\begin{cases}m< -1\\m>3\end{cases}}\)

theo viet ta có:\(x1+x2=\frac{-b}{a}=\frac{2\left(m-1\right)}{m+1}\)

                      mà x1=2x2

=>\(\hept{\begin{cases}x1=\frac{4\left(m-1\right)}{3\left(m+3\right)}\\x2=\frac{2\left(m-1\right)}{3\left(m+1\right)}\end{cases}}\)

thay vào P=x1.x2=c/a=\(\frac{m-3}{m+1}\)

=>tìm m đối chiếu đk 

1.

Đặt \(x^2-2x+m=t\), phương trình trở thành \(t^2-2t+m=x\)

Ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2x+m=t\\t^2-2t+m=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x-t\right)\left(x+t-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=t\\x=1-t\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=x^2-2x+m\\x=1-x^2+2x-m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-x^2+3x\\m=-x^2+x+1\end{matrix}\right.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(y=-x^2+x+1\) và \(y=-x^2+3x\):

\(-x^2+x+1=-x^2+3x\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{5}{4}\)

Đồ thị hàm số \(y=-x^2+3x\) và \(y=-x^2+x+1\): 

Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(m< \dfrac{5}{4}\)

Mà \(m\in\left[-10;10\right]\Rightarrow m\in[-10;\dfrac{5}{4})\)

Sửa đề: \(x_2^2-x_1^2=2\)

Ta có: \(\Delta=\left[-\left(m-3\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(-2m+2\right)\)

\(=\left(m-3\right)^2-4\left(-2m+2\right)\)

\(=m^2-6m+9+8m-8\)

\(=m^2+2m+1\)

\(=\left(m+1\right)^2\ge0\forall m\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-3\\x_1\cdot x_2=-2m+2\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4\cdot x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\left(m-3\right)^2-4\left(-2m+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=m^2-6m+9+8m-8=m^2-2m+1\)

\(\Leftrightarrow x_1-x_2=m-1\)

Ta có: \(x_2^2-x_1^2=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left(1-m\right)\left(m-3\right)=2\)

\(\Leftrightarrow m-3-m^2+3m-2=0\)

\(\Leftrightarrow-m^2+4m-5=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+5=0\)(Vô lý)

Vậy: Không có giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn \(x_2^2-x_1^2=2\)

\(\Delta=\left(m-3\right)^2-4\left(-2m+2\right)=\left(m+1\right)^2\ge0\) ;\(\forall m\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-3\\x_1x_2=-2m+2\end{matrix}\right.\)

\(x_2^2-x_1=2\Leftrightarrow x_2\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2-x_1=2\)

\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)x_2+2m-2-x_1=2\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)x_2-\left(x_1+x_2\right)+2m-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)x_2-m+3+2m-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)x_2=-m+1\Rightarrow x_2=\dfrac{-m+1}{m-2}\)

\(\Rightarrow x_1=m-3-x_2=\dfrac{m^2-4m+5}{m-2}\)

Thế vào \(x_1x_2=-2m+2\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{-m+1}{m-2}\right)\left(\dfrac{m^2-4m+5}{m-2}\right)=-2m+2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\\dfrac{m^2-4m+5}{\left(m-2\right)^2}=2\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

(1) \(\Leftrightarrow m^2-4m+5=2m^2-8m+8\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=3\end{matrix}\right.\)

Đây chắc chắn là 1 đề bài sai (pt giải ra m là 1 pt bậc 3 hệ số xấu)

Bạn kiểm tra kĩ lại đề bài, phần hệ số các ẩn của pt bậc 2 ấy

Trả lời đc tui chết liền

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m-1\\x_1.x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2x_2+x_2^2x_1=-8\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=-8\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(-m-1\right)=-8\)

\(\Leftrightarrow-m^2-m+m+1=-8\)

\(\Leftrightarrow-m^2+9=0\)

\(\Leftrightarrow-m^2=-9\)

\(\Leftrightarrow m=\pm\sqrt{3}\)

Do pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) nên theo đ/l Vi-ét , ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-m-1\\P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-1\end{matrix}\right.\)

Ta có : 

\(x_1^2x_2+x_2^2x_1=-8\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=-8\)

\(\Leftrightarrow P.S+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right).\left(-m-1\right)+8=0\)

\(\Leftrightarrow-m^2-m+m+1+8=0\)

\(\Leftrightarrow-m^2+9=0\)

\(\Leftrightarrow-m^2=-9\)

\(\Leftrightarrow m^2=9\)

\(\Leftrightarrow m=\pm3\)

bài 1: pt (2) hình như có vấn đề

b) \(x^4-7x^2+6=0\Leftrightarrow x^4-x^2-6x^2+6=0\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2-6\right)=0\)

=> x^2-1=0 <=> x=+-1 hoặc x^2-6=0 <=> x=+-6 

bài 2: ĐK: x >0 và x khác 1

\(P=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x^3}-1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-2\left(\sqrt{x}+1\right)+2\left(\sqrt{x}+1\right)=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-2\sqrt{x}-2+2\sqrt{x}+2=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\)

b)  ví x>0 => \(\sqrt{x}-1>-1\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)>-1\)=> k tìm đc Min

c) \(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)

để biểu thức này nguyên => \(\sqrt{x}-1\inƯ\left(2\right)\Leftrightarrow\sqrt{x}-1\in\left(+-1;+-2\right)\)

=> x thuộc (4;9)

bìa 3: câu này bạn đăng riêng mình làm rồi đó

\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-8\left(m-1\right)\)

\(=4m^2-4m+1-8m+8\)

\(=4m^2-12m+9=\left(2m-3\right)^2\)>=0

=>Phương trình luôn có hai nghiệm

\(\left|x_1-x_2\right|=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\dfrac{1-2m}{2}\right)^2-4\cdot\dfrac{m-1}{2}}=3\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}\left(4m^2-4m+1\right)-2\left(m-1\right)-3=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-m+\dfrac{1}{4}-2m+2-3=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-3m-\dfrac{3}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-12m-3=0\)

Đến đây bạn chỉ cần giải pt bậc hai là được rồi