a, áp dụng hệ thức lượng cho các tam giác vuông AHB,AHC, ABC có các đường cao ta có:\(BE=\frac{BH^2}{AB};CF=\frac{HC^2}{AC};BE.CF=\frac{BH^2.HC^2}{AB.AC}=\frac{AH^4}{AB.AC}\); \(BC=\frac{AB^2}{AH}\)

\(BC.CE.CF=\frac{AB^2}{AH}.\frac{AH^4}{AB.AC}=\frac{AH^3.AB}{AC}=AH^3.\frac{AB}{AC}\).

tam giác này người ta k cho cân => AB/AC không =1 đc => BC.BE.CF khác AH^3

\(EB=\frac{BH^2}{AB};FC=\frac{HC^2}{AC}\Rightarrow\frac{EB}{FC}=\frac{BH^2.AC}{AB.HC^2}\). VỚI TAM GIÁC ABC TA CÓ: \(BH=\frac{AB^2}{BC}\Rightarrow BH^2=\frac{AB^4}{BC}\Leftrightarrow HC^2=\frac{AC^4}{BC}\) => \(\frac{EB}{FC}=\frac{\frac{AB^4}{BC}.AC}{AB.\frac{AC^4}{BC}}=\frac{AB^4.AC.BC}{AB.AC^4.BC}=\frac{AB^3}{AC^3}\)

B) C/M TỨ GIÁC AEHF LÀ HÌNH CHỮ NHẬT => EF=AH(T/C) => EF LỚN NHẤT <=> AH LỚN NHẤT

TỪ A KẺ TRUNG TUYẾN AM. \(AH\le AM\) (ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN) => AH LỚN NHẤT KHI AH=AM <=> AH=1/2 BC=1/2a<=> EF LỚN NHẤT =1/2a (AM LÀ TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC VUÔNG => = 1/2 CẠNH HUYỀN)

TỪ CÁC CÔNG THỨC ĐÃ LẬP Ở TRÊN, S AEHF=AE.AF=\(\frac{AH^2}{AB}.\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AB.AC}=\frac{AH^4}{\sqrt{BH.BC.HC.BC}}=\frac{AH^4}{BC\sqrt{AH^2}}=\frac{AH^3}{BC}\)

CHỈ LÀM ĐC ĐẾN ĐÂY THÔI :-/ DÙ SAO CŨNG ĐC ÍT NHIỀU :)

a) đề phải là \(\dfrac{EB}{FC}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)

Ta có: \(\dfrac{EB}{FC}.\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BE.BA}{AC.CF}=\dfrac{BH^2}{CH^2}=\left(\dfrac{BH}{CH}\right)^2=\left(\dfrac{BH.BC}{CH.BC}\right)^2\)

\(=\left(\dfrac{AB^2}{AC^2}\right)^2=\dfrac{AB^4}{AC^4}\Rightarrow\dfrac{EB}{FC}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)

b) Vì \(\angle HEA=\angle HFA=\angle EAF=90\Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật

\(\Rightarrow AH^2=EF^2=EH^2+HF^2\)

Ta có: \(3AH^2+BE^2+CF^2=\left(BE^2+EH^2\right)+\left(CF^2+FH^2\right)+2AH^2\)

\(=BH^2+CH^2+2.BH.CH=\left(BH+CH\right)^2=BC^2\)

e: BE*BC^2

=BH^2/BA*BC^2

=(BH*BC)^2/BA

=BA^4/BA=BA^3

Bạn tự vẽ hình nha!

a) CMR :

Tứ giác EHFA có và nên tứ giác EHFA là hình chữ nhật .

Ta có :



Vậy , ta phải CMR :

Xét tam giác vuông BHA :

Xét tam giác vuông CHA :

Cộng (1) với (2) :

Mà

Suy ra điều phải chứng minh .

b) Tìm min của biết .





Cộng lại :

(do )

(theo Cosi)

=> . Dấu "=" khi

<=> vuông cân ở A .

.

a) auto prove

b) Ta có:\(BE.AB=BH^2\)(hệ thức về cạnh và đường cao trong tg v)

\(\Rightarrow BE=\dfrac{BH^2}{AB}\)\(\Rightarrow BE^2=\dfrac{BH^4}{AB^2}\)

Tương tự với CF,ta có: \(BE^2+CF^2=\dfrac{BH^4}{AB^2}+\dfrac{HC^4}{AC^2}\ge\dfrac{\left(HB^2+HC^2\right)^2}{AB^2+AC^2}\)( BĐT cauchy-schwarz)

Mà \(HB^2+HC^2\ge\dfrac{1}{2}\left(HB+HC\right)^2=\dfrac{1}{2}.BC^2\)(BĐT bunyakovsky)

\(\Rightarrow BE^2+CF^2\ge\dfrac{\dfrac{1}{4}BC^4}{BC^2}=\dfrac{BC^2}{4}=\dfrac{4a^2}{4}=a^2\)

Dấu = xảy ra khi tam giác ABC vuông cân ở A

Câu hỏi của Nguyễn Tấn Phát - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo!

a, bc^2 = ab^2 +ac^2 

      <=.> (ae+eb)^2   +(af+fc)^2

     <=.>AE^2 +2 AE.EB +EB^2 +AF^2+FC^2+2AF,FC 

<=> EF^2 +EB^2 +CF^2 +2.(EH^2+FH^2)

<=>EB^2 +CF^2 + AH ^2  + 2 AH^2 vì tứ giác EHAF là hcn suy ra AH =EF 

<=>EB^2 +CF^2+3 AH^2  (đpcm)

b, cb =2a là thế nào vậy

đề bài cho vậy 

câu a sai vì EHFA không phải hcn , phần trên cũng sai