1. 

a) Gọi G là giao của BE và DC.

-Xét △BEF và △BCF có:

\(BE=BC\) (gt).

\(\widehat{EBF}=\widehat{CBF}\) (BF là tia phân giác của \(\widehat{EBC}\)).

\(BF\) là cạnh chung.

=>△BEF = △BCF (c-g-c).

=>\(\widehat{BEF}=\widehat{BCF}=90^0\) (2 góc tương ứng).

=>BG⊥FI tại E.

-Ta có: \(\widehat{GED}+\widehat{EGD}=90^0\) (△DEG vuông tại D).

\(\widehat{EGD}+\widehat{EFD}=90^0\) (△GEF vuông tại E).

=>\(\widehat{GED}=\widehat{EFD}\).

-Xét △GED và △EFD có:

\(\widehat{GED}=\widehat{EFD}\) (cmt)

\(\widehat{GDE}=\widehat{FED}=90^0\)

=>△GED ∼ △EFD (g-g),

=>\(\dfrac{GD}{GE}=\dfrac{ED}{EF}\) (2 tỉ lệ tương ứng) (1).

-Xét △ABE có: AB//GD (ABCD là hình chữ nhật).

=>\(\dfrac{AB}{GD}=\dfrac{BE}{GE}\) (định lí Ta-let).

=>\(\dfrac{AB}{BE}=\dfrac{GD}{GE}\) (2)

-Xét △AEI có: AI//DF (ABCD là hình chữ nhật).

=>\(\dfrac{AE}{DE}=\dfrac{EI}{EF}\) (định lí Ta-let).

=>\(\dfrac{AE}{EI}=\dfrac{DE}{EF}\) (3).

-Từ (1),(2),(3) suy ra: \(\dfrac{AB}{BE}=\dfrac{AE}{EI}\)

=>\(AB.EI=BE.AE\) mà \(BE=BC\) (gt)

=>\(AB.EI=BC.AE\).

b) -Xét △ABE và △EBI có:

\(\widehat{BAE}=\widehat{BEI}=90^0\)

\(\widehat{B}\) là góc chung.

=>△ABE ∼ △EBI (g-g).

=>\(\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{EI}{BI}\) (2 tỉ lệ tương ứng).

=>\(AE=\dfrac{EI.BE}{BI}\)

=>\(AE^2=\dfrac{EI^2.BE^2}{BI^2}\)

=>\(\dfrac{1}{AE^2}=\dfrac{BI^2}{EI^2.BE^2}\)

Mà \(BI^2=EI^2+BE^2\) (△BEI vuông tại E).

=>\(\dfrac{1}{AE^2}=\dfrac{EI^2+BE^2}{EI^2.BE^2}=\dfrac{1}{BE^2}+\dfrac{1}{EI^2}\)

2)

a) -Ta có: \(\widehat{BMD}+\widehat{DME}+\widehat{CME}=180^0\)

\(\widehat{DBM}+\widehat{DMB}+\widehat{BDM}=180^0\) (tổng 3 góc trong △BDM).

Mà\(\widehat{DME}=\widehat{DBM}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{CME}=\widehat{BDM}\).

-Xét △BDM và △CME có:

\(\widehat{BDM}=\widehat{CME}\) (cmt).

\(\widehat{DBM}=\widehat{MCE}\) (△ABC cân tại A).

\(\Rightarrow\)△BDM ∼ △CME (g-g).

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BM}=\dfrac{CM}{CE}\) (2 tỉ lệ tương ứng).

Mà \(BM=CM=\dfrac{1}{2}BC\) (M là trung điểm BC).

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{\dfrac{1}{2}BC}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BC}{CE}\)

\(\Rightarrow BD.CE=\dfrac{1}{4}BC^2\).

b) -Ta có: \(\dfrac{BD}{CM}=\dfrac{DM}{ME}\) (△BDM ∼ △CME)

Mà  \(BM=CM\) (M là trung điểm BC).

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BM}=\dfrac{DM}{ME}\)

-Xét △BDM và △MDE có:

\(\widehat{DBM}=\widehat{DME}\left(gt\right)\)

\(\dfrac{BD}{BM}=\dfrac{DM}{ME}\) (cmt).

\(\Rightarrow\)△BDM ∼ △MDE (c-g-c).

\(\Rightarrow\widehat{BDM}=\widehat{MDE}\) (2 góc tương ứng) hay DM là phân giác của \(\widehat{BDE}\).

e tk hen:

Bài 6 :

Tự vẽ hình nhá :)

a) Gọi O là giao điểm của AC và EF

Xét tam giác ADC có :

EO // DC => AE/AD = AO/AC (1)

Xét tam giác ABC có :

OF // DC

=> CF/CB = CO/CA (2)

Từ (1) và (2) => AE/AD + CF/CB = AO/AC + CO/CA = AO + CO/AC = AC/AC = 1 => đpcm

Bài 7 :

a) Do EF // AB => CF / CA = EF / AB => CF / EF = AC / AB (1)

Dựng MG // AC và M là trung điểm của cạnh BC => GM là đường trung bình của tam giác ABC => G là trung điểm của cạnh AB =>AG = BG

Do DK // GM => AD / AG = DK / GM => AD / BG = DK / GM 

=> DK / AD = GM / BG = \(\frac{\frac{AC}{2}}{\frac{AB}{2}}=\frac{AC}{AB} \left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => CF / EF = DK / AD

Mà tứ giác ADEF là hình bình hành ( vì EF // AD và DE // AF ) nên AD = È

=> CF = DK ( đpcm )

Bài 8 : 

Ta có : AB = AM + MB = 11 + 8 = 19 ( cm )

Áp dụng hệ quả định lí Ta-lét vào tam giác ABC, ta có :

AM / AB = AN / AC => AM + AB / AB = AN + AC / AC => 19 + 11 / 19 = AN + 38 / 38 => 30/19 = 38 + AN / 38

=> 1140 = 19.AN + 722

=> AN = ( 1140 - 722 ) / 19 = 22 ( cm )

=> NC = 38 - 12 = 26 ( cm )

chắc sang năm mới làm xong mất 

sang năm mk giúp bn na

a) Xét ∆ADB và ∆ADE có:

AD chung

Góc BAD = góc EAD (AD là tia phân giác của góc BAC)

AB = AE (gt)

⇒∆ADB = ∆ADE (c-g-c)

b) Do ∆ADB = ∆ADE (c-g-c)

⇒góc ABD = góc AED (hai góc tương ứng)

⇒góc AED = 90⁰

Hay DE vuông góc AC

c) Gọi G là giao điểm của CF và AD

Do góc BAD = góc EAD (cmt)

⇒góc FAG = góc CAG

Xét hai tam giác vuông: ∆AGF và ∆AGC có:

AG chung

góc FAG = góc CAG (cmt)

⇒∆AGF = ∆AGC (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

⇒AF = AC (hai cạnh tương ứng)

Mà AF = AB + BF

AC = AE + EC

AB = AE

⇒BF = CE

a.- Xét △KDC có:

DC//BF (ABCD là hình bình hành).

=>\(\dfrac{CK}{KF}=\dfrac{DK}{BK}\) (định lí Ta-let). (1)

- Xét △KDM có:

MD//BD (ABCD là hình bình hành).

=>\(\dfrac{DK}{BK}=\dfrac{MK}{CK}\) (định lí Ta-let). (2)

- Từ (1) và (2) suy ra:

\(\dfrac{CK}{KF}=\dfrac{KM}{CK}\). Vậy \(CK^2=KM.KF\)

b. - Xét △KDC có:

DC//BF (ABCD là hình bình hành).

=> \(\dfrac{DK}{BK}=\dfrac{CK}{CF}\) (định lí Ta-let). (3)

- Xét △KDM có:

MD//BD (ABCD là hình bình hành).

=>\(\dfrac{DK}{BK}=\dfrac{MK}{CM}\) (định lí Ta-let). (4)

- Từ (3) và (4) suy ra:  \(\dfrac{CK}{CF}=\dfrac{MK}{CM}\)

=>\(\dfrac{CK}{CF}=\dfrac{MK}{CM}=\dfrac{CK+MK}{CF+CM}\) (t/c tỉ lệ thức).

=>\(\dfrac{CK}{CF}=\dfrac{CM}{CF+CM}\)

=>\(CK=\dfrac{CM.CF}{CF+CM}\)
=>\(\dfrac{1}{CK}=\dfrac{CF+CM}{CM.CF}\)

=>\(\dfrac{1}{CK}=\dfrac{1}{CF}+\dfrac{1}{CM}\)

c.

Do \(\widehat{DBC}=\widehat{CBE}\Rightarrow BC\) là phân giác trong góc \(\widehat{DBE}\) trong tam giác BDE

Theo định lý phân giác: \(\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{CE}{CD}\) (1)

Trong tam giác MCD, do \(AF||CD\) nên theo định lý Talet:  \(\dfrac{AF}{CD}=\dfrac{MF}{MC}\)

Trong tam giác MCE, do \(BF||CE\) nên theo định lý Talet: \(\dfrac{BF}{CE}=\dfrac{MF}{MC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AF}{CD}=\dfrac{BF}{CE}\Rightarrow\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{BF}{AF}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\dfrac{BF}{AF}=\dfrac{BE}{BD}\) (đpcm)

d.

Do \(BI\perp BC\), mà BC là đường phân giác trong nên BC là phân giác ngoài góc \(\widehat{DBE}\) của tam giác BDE

Theo định lý phân giác: \(\dfrac{IE}{ID}=\dfrac{BE}{BD}\)

Theo câu c ta có \(\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{CE}{CD}\)

\(\Rightarrow\dfrac{IE}{ID}=\dfrac{CE}{CD}\Rightarrow IE.CD=ID.CE\)