Cho x, y là các số thực dương thay đổi sao cho x+y=2
Tìm GTNN của \(T=\frac{x^2+3y^2}{2xy^2-x^2y^3}\)
1,Cho x,y là số thực dương , x lớn hơn hoặc bằng 3y. Tìm GTNN của B=\(\frac{x^3-y}{x^2y}\)
2, Cho x,y là số thực dương, x lớn hơn hoặc bằng 2y.Tìm GTNN của B=\(\frac{x^3-2y^2+2x^2y}{x^2y}\)
Cho x,y là các số thực thay đổi nhưng luôn thỏa mãn \(x+2y^3+8xy\ge2\). GTNN của biểu thức \(P=8x^4+\dfrac{1}{2}y^4-2xy\)
Cho x, y là hai số thực dương sao cho \(x+2y\ge\frac{3y^2}{x}\)
Tìm GTNN của biểu thức P=\(\frac{2x-y}{x+y}\)
\(x+2y\ge\frac{3y^2}{x}\Leftrightarrow x^2+2xy-3y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+3y\right)\ge0\Leftrightarrow x-y\ge0\)
\(\Leftrightarrow x\ge y\)
\(P=\frac{2x-y}{x+y}\ge\frac{x}{x+y}\ge\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
Cho biểu thức \(A=\frac{4xy}{x^2-y^2}:\left(\frac{1}{x^2-y^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2}\right)\). Nếu x,y là các số thực thỏa mãn \(x^2+3y^2+2x-2y=1\). Tìm các giá trị nguyên dương của A.
Cho : x,y,z là các số dương thỏa mãn \(\sqrt{x+2}-x^3=\sqrt{x+2}-y^3\)
tìm GTNN của \(x^2+2xy-y^2+2y+2020\)
Bạn coi lại đề, nhìn 2 vế của điều kiên đều là \(\sqrt{x+2}\) có vẻ sai sai rồi đó
1. Cho x,y thỏa mãn: x2 + 5y2 - 4xy + 2y = 3. Tìm x,y sao cho x đạt GTLN
2. Cho x,y thỏa mãn: 3x2 + y2 + 2xy + 4 = 7x + 3y
a) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức P = x + y
b) Tìm GTNN, GTLN của x
3. Cho x,y thỏa mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. Tìm GTLN, GTNN của S = x + y
1) ta có : \(x^2+5y^2-4xy+2y=3\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2=2-\left(y+1\right)^2\ge0\) \(\Leftrightarrow2\ge\left(y+1\right)^2\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le y+1\le\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}-1\le y\le\sqrt{2}-1\)
ta lại có : \(\left(y+1\right)^2=2-\left(x-2y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\ge\left(x-2y\right)^2\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x-2y\le\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}+2y\le x\le\sqrt{2}+2y\Leftrightarrow-2-3\sqrt{2}\le x\le-2+3\sqrt{2}\)
vậy \(x_{max}=-2+3\sqrt{2}\)
dâu "=" xảy ra khi \(y=\sqrt{2}-1\)
câu 3 : ta có : \(x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0\)
\(\Leftrightarrow y^2=-\left(x+y\right)^2-7\left(x+y\right)-10\ge0\)
\(\Leftrightarrow-5\le x+y\le-2\)
\(\Rightarrow S_{max}=-2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}y^2=0\\x+y=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow y=0;x=-2\)
\(S_{min}=-5\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}y^2=0\\x+y=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow y=0;x=-5\)
bài này có trong đề thi hsg trường mk :)
câu 2 này là câu tổ hợp của câu 1 và câu 3 thôi .
a) ta có : \(3x^2+y^2+2xy+4=7x+3y\)
\(\Leftrightarrow2\left(x-1\right)^2=-\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2\)
\(\Leftrightarrow1\le x+y\le2\)
\(\Rightarrow P_{max}=2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\x+y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)
\(P_{min}=1\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\x+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\)
b) ta có : \(3x^2+y^2+2xy+4=7x+3y\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-3\left(x+y\right)+\dfrac{9}{4}=-2x^2+4x-\dfrac{7}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-\dfrac{3}{2}\right)^2=-2x^2+4x-\dfrac{7}{4}\ge0\)\(\Leftrightarrow\dfrac{4-\sqrt{2}}{4}\le x\le\dfrac{4+\sqrt{2}}{4}\)
\(\Rightarrow\) GTNN của \(x\) là \(\dfrac{4-\sqrt{2}}{4}\) dâu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4-\sqrt{2}}{4}\\x+y=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4-\sqrt{2}}{4}\\y=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) GTNN của \(x\) là \(\dfrac{4-\sqrt{2}}{4}\) dâu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4+\sqrt{2}}{4}\\x+y=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4+\sqrt{2}}{4}\\y=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}\end{matrix}\right.\)
mk nghỉ đề này không phải của lớp 8 đâu phải không :)
Cho 2 số dương a,b. Các số dương x,y thay đổi sao cho \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=1\). Tìm x,y để S=x+y đạt GTNN. Tìm GTNN đó theo a,b
Áp dụng bđt bunhia cho 2 bộ số \(\left(\frac{a}{x};\frac{b}{y}\right),\left(x;y\right)\)ta được
\(\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}\right)\left(x+y\right)\ge\left(\sqrt{\frac{a}{x}.x}+\sqrt{\frac{b}{y}.y}\right)^2\)
\(\rightarrow x+y\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)
\(MinS=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{22}\)
cho 2 số dương x, y thay đổi sao cho x+y =1
tìm gtnn của \(A=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)\)
Sửa giúp mình chữ P thành A nhé khi nãy gõ nhầm :))
cho các số thực dương x y thỏa mãn x^3+y^3+x^2+y^2=2xy(x+y).Tìm GTNN của K = x ^ 3 + y ^ 3 + 3/(x ^ 2 + y ^ 2) + 2/((x + y) ^ 2)
Ta có:
x^3 + y^3 + x^2 + y^2 = 2xy(x+y)
Đặt S = x + y, P = xy, ta có:
x^3 + y^3 + x^2 + y^2 = (x+y)(x^2 + y^2) = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = S^3 - 3PS
Vậy ta có:
S^3 - 3PS + S^2 - 2P = 0
S^3 + S^2 - 3PS - 2P = S(S^2 + S - 3P) - 2P = 0
Do đó, ta có:
S^2 + S - 3P = 0
Sử dụng công thức Viết để tính nghiệm của phương trình bậc hai này, ta được:
S = (-1 + sqrt(1 + 12P))/2 hoặc S = (-1 - sqrt(1 + 12P))/2
Vì x và y là các số thực dương, nên ta chỉ quan tâm đến nghiệm dương của S, tức là:
S = (-1 + sqrt(1 + 12P))/2
Tiếp theo, ta có:
K = x^3 + y^3 + 3/(x^2 + y^2) + 2/((x+y)^2)
= S^3 - 3PS + 3/(S^2 - 2P) + 2/(S^2)
= S^3 - 3PS + 3S^2/(S^2 - 2P) + 2/(S^2)
= S^3 - 3PS + 3S^2/(S^2 - 2P) + 2S^2/(S^2 * (S^2 - 2P))
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(S^2 * (S^2 - 2P))
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(S^2 * (S^2 + 1 - 2xy))
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/((S^2 + 1)^2 - 2(S^2-1)P)
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/((S^2 + 1)^2 - 2(S^2-1)(S^3 - 3PS))
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(-2S^5 + 10S^3 - 2PS^2 + 2P)
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(2S^5 - 10S^3 + 2PS^2 - 2P)
= S^3 - 3PS + (5S^2 - 6P)/(2S^3 - 10S +