Ta có: D = m m + 2 1 m = m 2 − m − 2

D x = 5 m + 2 2 m + 3 m = 5 m − ( m + 2 ) ( 2 m + 3 ) = − 2 m 2 − 2 m − 6

D y = m 5 1 2 m + 3 = 2 m 2 + 3 m − 5

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì D ≠ 0 ⇔ m 2 − m − 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ − 1 m ≠ 2

Khi đó: x = D x D = − 2 ( m 2 + m + 3 ) m 2 − m − 2 ;   y = D y D = 2 m 2 + 3 m − 5 m 2 − m − 2

Để hệ phương trình có nghiệm âm thì: − 2 ( m 2 + m + 3 ) m 2 − m − 2 < 0     ( 1 ) 2 m 2 + 3 m − 5 m 2 − m − 2 < 0     ( 2 )

1 ⇔ m 2 + m + 3 m 2 − m − 2 > 0 ⇔ m 2 − m − 2 > 0   ( v ì   m 2 + m + 3 = m + 1 2 2 + 11 4 > 0 ,   ∀ m )

⇔ m < − 1 m > 2 *

2 ⇔ 2 m 2 + 3 m − 5 > 0 m 2 − m − 2 < 0 2 m 2 + 3 m − 5 < 0 m 2 − m − 2 > 0 ⇔ m < − 5 2 m > 1 − 1 < m < 2 − 5 2 < m < 1 m < − 1 m > 2 ⇔ 1 < m < 2 − 5 2 < m < − 1 * *

Từ (*) và (**) suy ra − 5 2 < m < − 1

Đáp án cần chọn là: D

\(x^2-\left(2a-1\right)x-4a-3=0\)

\(\Delta=\left(2a-1\right)^2+4\left(4a+3\right)\)

\(=4a^2-4a+1+16a+12\)

\(=4a^2+12a+13=\left(2a+3\right)^2+4>0\)

Vì \(\Delta>0\Rightarrow\) phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi a

Vì phương trình có 2 nghiệm phân biệt, áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2a-1\\x_1.x_2=-4a-3\end{matrix}\right.\) ⇒ \(x_1.x_2+2\left(x_1+x_2\right)=-5\)

Ta có:

\(A=x_1^2+x^2_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2\)

\(=\left(2a-1\right)^2-2\left(-4a-3\right)\)

\(=4a^2-4a+1+8a+6\)

\(=\left(2a+1\right)^2+6\)

Vì \(\left(2a+1\right)^2\ge0\forall a\)

⇒\(A\ge6\)

Min A=6 <=> \(a=-\dfrac{1}{2}\)

Vì P = 6 / -2 = -3 < 0 

=> Phương trình có hai nghiệm trái dấu 

Áp dụng định lí Viet ta có: 

\(\hept{\begin{cases}x_1x_2=\frac{6}{-2}\\x_1+x_2=\frac{3}{2}\end{cases}}\)

Ta có: \(\left|x_1-x_2\right|^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=\left(\frac{3}{2}\right)^2-4\left(\frac{6}{-2}\right)=\frac{57}{4}\)

=> \(\left|x_1-x_2\right|=\frac{\sqrt{57}}{2}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}4x-3y=2\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x-3y=2\\3x+3y=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=2\end{matrix}\right.\)

\(5x_0-2y_0=5\cdot2-2\cdot2=6\)

\(\left\{{}\begin{matrix}4x-3y=2\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}16-7y=2\\x=4-y\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x=4-2=2\end{matrix}\right.\)

\(=>5x_0-2y_0=5.2-2.2=6\)

Để hệ phương trình − m x + y = − 2 m x + m 2 y = 9 nhận cặp (1; 2) làm nghiệm thì − m .1 + 2 = − 2 m 1 + m 2 2 = 9 ⇔ m = − 2 m = ± 2 ⇒ m = − 2

Vậy m = −2

Đáp án: C

Để hệ phương trình ( m + 2 ) x + y = 2 m − 8 m 2 x + 2 y = − 3 nhận cặp số (−1; 3) làm nghiệm thì  ( m + 2 ) . ( − 1 ) + 3 = 2 m − 8 m 2 ( − 1 ) + 2.3 = − 3 ⇔ − m − 2 + 3 = 2 m − 8 − m 2 + 6 = − 3 ⇔ 3 m = 9 m 2 = 9 ⇔ m = 3 m = 3 m = − 3 ⇔ m = 3

Vậy m = 3

Đáp án: D

\(x^2+2\left(2m-1\right)x+3\left(m^2-1\right)=0\)

\(a,\) Để pt có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)

\(\Rightarrow\left[2\left(2m-1\right)\right]^2-4\left[3\left(m^2-1\right)\right]\ge0\)

\(\Rightarrow4\left(4m^2-4m+1\right)-4\left(3m^2-3\right)\ge0\)

\(\Rightarrow16m^2-16m+4-12m^2+12\ge0\)

\(\Rightarrow4m^2-16m+16\ge0\)

\(\Rightarrow\left(2m-4\right)^2\ge0\)

Vậy pt có nghiệm với mọi m.

b, Theo viét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(2m-1\right)\\x_1x_2=3\left(m^2-1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4m+2\\x_1x_2=3m^2-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\dfrac{-2+x_1+x_2}{4}\\x_1x_2=3\left(\dfrac{-2+x_1+x_2}{4}\right)^2-3\end{matrix}\right.\)

Vậy......

a)

\(x=-2\) là nghiệm của phương trình

\(\Rightarrow\left(-2\right)^2-\left(-2\right).\left(m-1\right).\left(-2\right)-3=0\)

\(\Leftrightarrow4+4\left(m-1\right)-3=0\)

\(\Leftrightarrow4\left(m-1\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow m-1=-\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{4}\)

\(x^2-2\left(m-1\right)x-3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{2}x-3=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+x-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(2x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+2=0\\2x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

b)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+12x>0\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)

Có:

 \(Q=x_1^3x_2+x_1x_2^3-5x_1x_2\)

\(=x_1x_2.\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-5x_1x_2\)

\(=-3\left[4\left(m-1\right)^2+6\right]+15\)

\(=-12\left(m-1\right)^2-3\)

Mà \(-12\left(m-1\right)^2\le0\)

\(\Rightarrow-12\left(m-1\right)^2-3\le-3\)

\(Max_Q=-3\Leftrightarrow m-1=0\Leftrightarrow m=1\).

`a)` Thay `x=-2` vào ptr có:

   `(-2)^2-2(m-1).(-2)-3=0<=>m=3/4`

Thay `m=3/4` vào ptr có: `x^2-2(3/4-1)x-3=0<=>x^2+1/2x-3=0`

             `<=>2x^2+x-6=0<=>(x+2)(2x-3)=0<=>[(x=-2),(x=3/2):}`

`b)` Ptr có nghiệm `<=>\Delta' >= 0`

            `<=>[-(m-1)]^2+3 >= 0<=>(m-1)^2+3 >= 0` (LĐ `AA m`)

`=>` Áp dụng Viét có: `{(x_1+x_2=[-b]/a=2m-2),(x_1 .x_2=c/a=-3):}`

Có:`Q=x_1 ^3 x_2+x_1 x_2 ^3 -5x_1 x_2`

`<=>Q=x_1 x_2(x_1 ^2+x_2 ^2)-5x_1 x_2`

`<=>Q=x_1 x_2[(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2]-5x_1 x_2`

`<=>Q=-3[(2m-2)^2-2.(-3)]-5.(-3)`

`<=>Q=-3(2m-2)^2-18+15`

`<=>Q=-3(2m-2)^2-3`

Vì `-3(2m-2)^2 <= 0<=>-3(2m-2)^2-3 <= -3 AA m`

  `=>Q <= -3 AA m`

Dấu "`=`" xảy ra `<=>2m-2=0<=>m=1`

Vậy GTLN của `Q` là `-3` khi `m=1`