Ta có:

\(a^4+b^4-2a^2b^2+c^4+d^4-2c^2d^2+2a^2b^2+2c^2d^2-4abcd\)

\(=\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(ab-cd\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd\ge0\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=\pm b\\c=\pm d\\ab=cd\end{matrix}\right.\)

c và d ở đâu vại:>

\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)-\left(ab^3-b^4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a= b

Ta có đpcm

a, Ta có : BĐT \(a^2+b^2\ge2ab\) = BĐT cauchuy .

-> Áp dụng BĐT cauchuy ta được :

\(\left\{{}\begin{matrix}a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4b^4}=2a^2b^2\\c^4+d^4\ge2\sqrt{c^4d^4}=2c^2d^2\end{matrix}\right.\)

- Cộng 2 bpt lại ta được :

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2=2\left(\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\right)\)

- Mà \(\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\ge2abcd\)

=> \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2.2abcd=4abcd\)

b, CMTT câu 1 .

- Áp dụng BĐT cauchuy ta được :

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\)

- Nhân 3 bpt trên lại ta được :

\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2.2.2abc=8abc\)

\(a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\ge\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)}{9}\)

\(\ge\frac{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}\left(a+b+c\right)}{3}=abc\left(a+b+c\right)\)

thanks bạn nha

minh cung viet nhung bai day dai lam khong danh duoc

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương \(a^4,b^4,c^4,d^4\), ta có:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^4b^4}+2\sqrt{c^4d^4}\)

\(=2a^2b^2+2c^2d^2\ge2\sqrt{2a^2b^2\cdot2c^2d^2}=2\cdot2\left|abcd\right|=4\left|abcd\right|\ge4abcd\)

Dấu "=" khi a = b = c = d.

Cách khác áp dụng cho 4 số luôn:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4\left|abcd\right|\ge4abcd\).

Vậy......................

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

a⁴ + b⁴ ≥ 2a²b²

c⁴ + d⁴ ≥ 2c²d²

⇒ a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ ≥ 2a²b² + 2c²d²

⇔ VT ≥ 2\(\sqrt{4\text{a}^2b^2c^2d^2}\) = 4abcd = VP

Vậy a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ ≥ 4abcd

Áp dụng bất đẳng thức \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\) ta có:

\(8\left(a^4+b^4\right)\ge4\left(a^2+b^2\right)^2=\left[2\left(b^2+c^2\right)\right]^2\ge\left(a+b\right)^4\).