Lời giải:

Đặt biểu thức vế trái là $A$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(A[x(yz+zt+ty)+y(xz+zt+xt)+z(xt+yt+xy)+t(xy+yz+xz)]\geq \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)^2\)
Vì $xyzt=1$ nên:

\(x(yz+zt+ty)+y(xz+zt+xt)+z(xt+yt+xy)+t(xy+yz+xz)=\frac{1}{t}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{t}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\)

Do đó:

$A. 3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\geq \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)^2$

$\Rightarrow A\geq \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}}{3}$

Áp dụng BĐT AM-GM: \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{xyzt}}=4$

Vậy $A\geq \frac{4}{3}$ (đpcm)

\(\frac{3}{x\sqrt{x}}=3\sqrt[3]{y^2z^2t^2}\le yz+zt+ty\)

\(\Sigma\frac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}\ge\Sigma\frac{1}{\frac{3x^3}{x\sqrt{x}}}=\Sigma\frac{\sqrt{x}}{3x^2}\ge\frac{4}{3}\sqrt[4]{\frac{\sqrt{xyzt}}{\left(xyzt\right)^2}}=\frac{4}{3}\)

Câu hỏi của Ryan Park - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Chứng minh đc:

\(\frac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}+\frac{1}{y^3\left(xz+zt+tx\right)}+\frac{1}{z^3\left(xy+yt+tx\right)}+\frac{1}{t^3\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(\ge\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\)

\(\ge\frac{4}{3}.\sqrt[4]{\frac{1}{xyzt}}=\frac{4}{3}\)

đặt x/y=a hay xy/z=a hay j đó là ra nói chung là 4 biế
n lười nháp

Ta có: \(2x^2+xy+2y^2=\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(x^2+2xy+y^2\right)=\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)

Theo BĐT Bunhacopxky: \(\left(x^2+y^2\right)\left(1+1\right)\ge\left(x+y\right)^2\Rightarrow\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)\ge\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\\ \Rightarrow2x^2+xy+2y^2=\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{5}{4}\left(x+y\right)^2\\ \Rightarrow\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\)

Chứng minh tương tự:

\(\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)\\ \sqrt{2z^2+xz+2x^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+z\right)\)

Cộng vế theo vế, ta được: \(P\ge\sqrt{5}\left(x+y+z\right)=\sqrt{5}\cdot1=\sqrt{5}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\) 

Bạn tham khảo nhé

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-cac-so-duong-xyz-thoa-man-xyz1cmrcan2x2xy2y2can2y2yz2z2can2z2zx2x2can5.182722154737

\(P\ge\frac{x+y+z}{2}=\frac{\sqrt{\left(x+y+z\right)^2}}{2}\ge\frac{\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Áp dụng BĐT Cauchy=Schwarz ta có:

\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\Rightarrow x+y+z\le\sqrt{3}\)

Ta lại có:\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\forall x,y,z\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+zx\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(\Rightarrow A\le\sqrt{3}+1\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Em làm lại,cách này mà còn sai nữa thì em xin hàng ạ! Dù sao đi nữa cũng xin mọi người chịu khó góp ý giúp em để em càng ngày càng tiến bộ hơn nữa ạ! Thanks all !

*Tìm min

Đặt p = x + y + z; q = xy + yz + zx thì \(x^2+y^2+z^2=p^2-2q=1\Rightarrow q=\frac{p^2-1}{2}\)

Suy ra \(A=p+q=p+\frac{p^2-1}{2}=\frac{p^2+2p-1}{2}\)

\(=\frac{p^2+2p+1-2}{2}=\frac{\left(p+1\right)^2-2}{2}\ge-\frac{2}{2}=-1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -1.

Dấu "=" xảy ra khi (x;y;z) = (0;0;-1) (chỗ này em không biết giải rõ thế nào nữa :v)

*Tìm max

Ta có BĐT sau: \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\le x^2+y^2+z^2\)

Suy ra \(q\le\frac{p^2}{3}\le p^2-2q=1\) suy ra \(\hept{\begin{cases}q\le p^2-2q=1\\p^2\le3\left(p^2-2q\right)\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}q\le1\\p\le\sqrt{3\left(p^2-2q\right)}=\sqrt{3}\end{cases}}\)

Suy ra \(A=p+q\le\sqrt{3}+1\)

Ta có : 

\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\); \(y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\); \(x^2+z^2\ge2\sqrt{x^2z^2}=2xz\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

hay \(xy+yz+xz\le1\)

Mặt khác : \(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)nên \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

hay \(2\left(x+y+z\right)\le4\)\(\Rightarrow x+y+z\le2\)

\(\Rightarrow A=x+y+z+xy+yz+xz\le2+1=3\)

hình như làm thế này sai thì phải