Chắc là \(a;b>0\), vì \(a.b>0\) thì ví dụ \(a=-1;b=-2\) BĐT sai

BĐT tương đương:

\(\dfrac{3a+4b}{ab}\ge\dfrac{48}{3a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(3a+4b\right)^2\ge48ab\)

\(\Leftrightarrow\left(3a-4b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng BĐT Cauchy dạng engel ta có:

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c(đpcm) \)

theo bđt cauchy ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^2}{b}+b\ge2a\\\dfrac{b^2}{c}+c\ge2b\\\dfrac{c^2}{a}+a\ge2c\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+a+b+c\ge2a+2b+2c\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)

\(\Rightarrow dpcm\)

Có: \(\frac{a^4}{b^2c}+\frac{b^4}{c^2a}+b\ge\frac{3ab}{c}\)

Tương tự, ta cũng được: \(\Sigma_{cyc}\frac{a^4}{b^2c}\ge\frac{3}{2}\Sigma_{cyc}\frac{ab}{c}-\frac{1}{2}\Sigma_{cyc}a\)

Cần CM: \(\Sigma_{cyc}\frac{ab}{c}\ge\Sigma_{cyc}a\)

Có: \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)

Tương tự, ta có đpcm 

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c 

ta có

-   ( /a/+/b/)^2=/a/^2+2/a/ /b/+/b/^2=a^2+2/ab/+b^2

-   /a+b/^2=a^2+2ab+b^2

do 2/ab/>= 2ab (dấu = xảy ra khi ab>=0)

=>a^+b^2+2/ab/>2=a^2+b^2+2ab=> đpcm

BĐT cần C/m

\(\Leftrightarrow\left(|a|+|b|\right)^2\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+2|ab|+b^2\ge a^2+2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow|ab|\ge ab\)\(\RightarrowĐPCm\)

a: \(A=\left(x^2-7x+6\right)\left(x^2-7x+12\right)+9\)

\(=\left(x^2-7x\right)^2+18\left(x^2-7x\right)+81\)

\(=\left(x^2-7x+9\right)^2>=0\)

b: Vì A=(x^2-7x+9)^2

nên A là số chính phương

Vì a có trị tuyệt đối

=> a có thể là số âm hoặc số dương

Nghĩa là: ! a ! hoặc ! -a !

Khi bỏ trị, a luôn là số dương nên sẽ bằng a bên vế phải khi a bên vế phải dương, và sẽ lớn hơn a bên vế phải khi a bên vế phải âm

=> Với mọi số nguyên a, ! a ! > hoặc = a

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left[\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)+\left(c^2+a^2\right)\right]\ge\dfrac{1}{2}\left(2ab+2bc+2ac\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left[\left(a^2+b^2-2ab\right)+\left(b^2+c^2-2bc\right)+\left(c^2+a^2-2ac\right)\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]\ge0\)(đúng)

\("="\Leftrightarrow a=b=c\)

c1: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

--> đpcm

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c

c2: Áp dụng bđt AM-GM

Ok cách 2 áp dụng AM-GM:

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(b^2+c^2\ge2bc\)

\(c^2+a^2\ge2ac\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)

"=" khi a=b=c