Cho a,b,c là các số thưc thỏa mãn \(1\le a\)và \(b,c\le3\)và \(a+b+c=6\)
Tìm GTLN : \(M=a^2+b^2+c^2\)
BÀI 1"
Tìm \(n\in N\)thỏa mãn : \(19+3^n\)là số chính phương
BÀI 2''
Cho a,b,c là các số thực t/m: \(1\le a\)và\(b,c\le3\)và\(a+b+c=6\)
Tìm GTLN: \(M=a^2+b^2+c^2\)
Bài 1: 4
Bài 2: 114 (hình như vậy)
(ko biết trình bày ah)
Bạn cố nhớ cách trình bày giúp mk dc k
Cho a;b;c là các số thực thỏa mãn\(0\le a;b;c\le3\)và\(a+b+c=4\)
\(CMR:a^2+b^2+c^2\le10\)
Gỉa thiết đã cho có thể viết lại thành
(a/2)2+(b/2)2+(c/2)2+2.a/2.b/2.c/2=1
Từ đó suy ra 0<a/2,b/2,c/2≤1.
Như vậy tồn tại A,B,Cthỏa A+B+C=πA+B+C=r và a/2=cosA,b/2=cosB,c/2=cosC.
Từ một BĐT cơ bản cosA+cosB+cosC≤3/2
ta có ngay a+b+c≤3
<=> a^2+b^2+c^2 =< 3^2 =< 9
ta có:\(0\le a\le3\Rightarrow a\left(a-3\right)\le0\)
\(\Rightarrow a^2-3a\le0\)
C/m tương tư ta đc: \(b^2-3b\le0\)
\(c^2-3c\le0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-3\left(a+b+c\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le3.4=12\) (vì a+b+c=4)
Cho \(1\le a,b,c\le3\) thỏa mãn a+b+c=6. Tìm GTLN của
P = \(a^2+b^2+c^2\)
Lời giải:
Không mất tổng quát, giả sử \(c=\max(a,b,c)\Rightarrow 6=a+b+c\leq 3c\Rightarrow c\geq 2\)
Ta có:
\(P=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=36-2(ab+bc+ac)\)
Vì \(a,b,c\geq 1\Rightarrow (a-1)(b-1)\geq 0\)
\(\Rightarrow ab\geq a+b-1\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\geq a+b-1+bc+ac\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\geq 6-c-1+c(6-c)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\geq 11-(c^2-5c+6)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\geq 11-(c-2)(c-3)\)
Vì \(3\geq c\geq 2\Rightarrow (c-2)(c-3)\leq 0\Rightarrow 11-(c-2)(c-3)\geq 11\)
Do đó: \(ab+bc+ac\geq 11\Rightarrow P=36-2(ab+bc+ac)\leq 14\)
Vậy \(P_{\max}=14\Leftrightarrow (a,b,c)=(3,2,1)\) và các hoán vị.
Xét các số thực a,b,c với \(b\ne a+c\) sao cho PT bậc 2 \(ax^2+bx+c=0\) có 2 nghiệm thực m,n thỏa mãn \(0\le m,n\le1\). Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
\(M=\dfrac{\left(a-b\right)\left(2a-c\right)}{a\left(a-b+c\right)}\)
Em tham khảo ở đây:
Max thì đơn giản thôi em:
Do \(0\le m;n\le1\Rightarrow0< 2-mn\le2\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{\left(2-mn\right)\left(m+n+1\right)}{mn+m+n+1}\le\dfrac{2\left(m+n+1\right)}{mn+m+n+1}\le\dfrac{2\left(m+n+1\right)}{m+n+1}=2\)
\(M_{max}=2\) khi \(mn=0\)
Cho a,b,c dương thỏa mãn : \(a+b+c\le3\)
Tìm GTLN của biểu thức
\(B=\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}+2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
Ta có \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{2a}\le\sqrt{2\left(1+a^2+2a\right)}=\sqrt{2}\left(a+1\right)\).
Tương tự \(\sqrt{1+b^2}+\sqrt{2b}\le\sqrt{2}\left(b+1\right)\); \(\sqrt{1+c^2}+\sqrt{2c}\le\sqrt{2}\left(c+1\right)\).
Lại có \(\left(2-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\le\left(2-\sqrt{2}\right)\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\le3\left(2-\sqrt{2}\right)\).
Do đó \(B\le\sqrt{2}\left(a+b+c+3\right)+3\left(2-\sqrt{2}\right)\le6\sqrt{2}+6-3\sqrt{2}=3\sqrt{2}+6\).
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1.
cho a,b,c thỏa mãn a+b+c= 0 và -1\(\le\)a,b,c\(\le\)2
tìm GTLN a2+b2+c2
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn \(0\le a\le b\le c\le1\)
Tìm GTLN
\(Q=a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)
\(Q=a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)
\(\le b^2\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)
\(=4.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}.\left(c-b\right)+c^2\left(1-c\right)\)
\(\le\frac{4.\left(\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+c-b\right)^3}{27}+c^2\left(1-c\right)\)
\(\le\frac{4.c^3}{27}+c^2\left(1-c\right)\)
\(=c^2\left(1-\frac{23c}{27}\right)\)
\(=\frac{23c}{54}.\frac{23c}{54}.\left(1-\frac{23c}{27}\right).\frac{2916}{529}\)
\(\le\frac{2916}{529}.\frac{\left(\frac{23c}{54}+\frac{23c}{54}+1-\frac{23c}{27}\right)^3}{27}=\frac{108}{529}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=0;b=\frac{12}{23};c=\frac{18}{23}\)
CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý A ≥ B ⇔ A − B ≥ 0 1/Định nghĩa A ≤ B ⇔ A − B ≤ 0 2/Tính chất + A>B ⇔ B < A + A>B và B >C ⇔ A > C + A>B ⇒ A+C >B + C + A>B và C > D ⇒ A+C > B + D + A>B và C > 0 ⇒ A.C > B.C + A>B và C < 0 ⇒ A.C < B.C + 0 < A < B và 0 < C <D ⇒ 0 < A.C < B.D + A > B > 0 ⇒ A n > B n ∀n + A > B ⇒ A n > B n với n lẻ + A > B ⇒ A n > B n với n chẵn + m > n > 0 và A > 1 ⇒ A m > A n + m > n > 0 và 0 <A < 1 ⇒ A m < A n 1 1 +A < B và A.B > 0 ⇒ > A B 3/Một số hằng bất đẳng thức + A 2 ≥ 0 với ∀ A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + An ≥ 0 với ∀ A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + A ≥ 0 với ∀A (dấu = xảy ra khi A = 0 ) + -A <A= A + A + B ≥ A + B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0) + A − B ≤ A − B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)Sưu tầm và tuyển chọn 1
Cho \(0\le a;b;c\le3\) thỏa a+b+c=6. Tìm min và max của Q=a^2+b^2+c^2+abc
Cho các số thực a , b , c thỏa mãn điều kiện : \(0\le a,b,c\le2\) và a+b+c = 3
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức P = \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\)
đặt \(t=ab+bc+ca\)
\(=>t=ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=3\)
mặt khác
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=>a^2+b^2+c^2=9-2\left(ab+bc+ca\right)\)
khi đó
\(P=\frac{9-2t}{t}\)(zới t nhỏ hơn hoặc = 3)
xét \(f\left(t\right)=\frac{9-2t}{t}\left(t\le3\right)\)
\(f'\left(t\right)=-\frac{9}{t^2}< 0\)
=> f(t) N Biến \(\left(-\infty,3\right)\)
min f(t)=f(3)=1
koo tồn tại max\(f\left(t\right)\)
zậy minP=1 khi a=b=c=1