trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( d ) : \(y=\left(2m-2\right)x+3\) với m là tham số. Tìm m để khoảng cách từ O tới d đạt GTLN.
Trong mặt phẳng Oxy,cho đường thẳng `(d): (m-4)x+(m-3)y=1` (m là tham số).Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng `(d)` là lớn nhất.
Xét m=4 =>(d):y=1 =>Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đt (d) khi đó là 1
Xét m=3 =>(d):x=-1=> Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đt (d) khi đó là 1
Xét \(m\ne4;m\ne3\)
Gọi \(A=Ox\cap\left(d\right)\) \(\Rightarrow A\left(\dfrac{1}{m-4};0\right)\), \(B=Oy\cap\left(d\right)\Rightarrow B\left(0;\dfrac{1}{m-3}\right)\)
Gọi H là hình chiếu của O lên AB
Có \(OH^2=\dfrac{OA^2.OB^2}{OA^2+OB^2}=\dfrac{\left(\dfrac{1}{m-4}\right)^2.\left(\dfrac{1}{m-3}\right)^2}{\left(\dfrac{1}{m-4}\right)^2+\left(\dfrac{1}{m-3}\right)^2}\)
\(=\dfrac{1}{\left(m-4\right)^2\left(m-3\right)^2\left[\dfrac{1}{\left(m-4\right)^2}+\dfrac{1}{\left(m-3\right)^2}\right]}\)
\(=\dfrac{1}{\left(m-4\right)^2+\left(m-3\right)^2}\)
\(=\dfrac{1}{2m^2-14m+25}=\dfrac{1}{2\left(m-\dfrac{7}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}}\le2\)
=> \(OH\le\sqrt{2}\)
=> Khoảng cách lớn nhất gốc tọa độ đến (d) là \(\sqrt{2}\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{2}\) (thỏa)
Xét điểm \(A\left(-1;1\right)\). Dễ thấy A thuộc (d). Gọi H là hình chiếu của O trên (d). Ta có \(OH\le OA=\sqrt{2}\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(H\equiv A\), tức là \(d\perp OA\).
Ta cần tìm m sao cho \(d\perp OA\). Phương trình đường thẳng đi qua O, A là
y = -x. Xét m = 4 thì đường thẳng (d) trở thành \(y=1\), đường thẳng này song song với trục hoành và không vuông góc với d. Xét m khác 4. Khi đó \(\left(m-4\right)x+\left(m-3\right)y=1\Leftrightarrow y=\dfrac{4-m}{m-3}x+\dfrac{1}{m-3}\). Để \(d\perp OA\) thì \(\dfrac{4-m}{m-3}.\left(-1\right)=-1\Leftrightarrow4-m=m-3\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{2}\).
Vậy Max \(OH=\sqrt{2}\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{2}\).
Cho mặt phẳng Oxy ,cho đường thẳng (d) có phương trình (m-4)x+(m-3)y=1 (m là tham số). Tìm M để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất
Cho hàm số y=(2m+1) x+3 (d) (m là tham số,m khác -1/2)
1.Khi m=1,hãy vễ đồ thị hàm số đó trên mặt phẳng tọa độ Oxy và tính khoảng cách từ O đến đường thẳng (d)
2.Đường thẳng (d) cắt đường thẳng y= -3/2x +3(d') tại điểm M.Gọi N và P lần lượt là giao điểm của đường thẳng(d) và(d') với trục hoành Ox.Tìm m để diện tích tam giác OMP bằng 2 lần diện tích tam giác OMN
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng \(\left(d_1\right):y=2x+m;\left(d_2\right):y=\left(m^2+1\right)x-1\) (Với m là tham số)
a) Tìm m để d1 cắt Ox ở A, cắt Oy ở B (A và B khác O) sao cho \(AB=2\sqrt{5}\)
b) Tìm tọa độ giao điểm C của d1 và d2 khi m=2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): \(y=\dfrac{1}{2}x^2\) và đường thẳng (d): \(y=2x-m+1\) ( Với m là tham số )
a, Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1;3)
b, Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ \(\left(x_1;y_1\right):\left(x_2;y_2\right)\) sao cho \(x_1x_2\left(y_1+y_2\right)+48=0\)
a: Thay x=-1 và y=3 vào (d), ta được:
-2-m+1=3
=>-1-m=3
=>m=-4
b: PTHĐGĐ là;
1/2x^2-2x+m-1=0
=>x^2-4x+2m-2=0
Δ=(-4)^2-4(2m-2)
=16-8m+8=-8m+24
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì -8m+24>0
=>m<3
x1x2(y1+y2)+48=0
=>x1x2(x1^2+x2^2)+48=0
=>(2m-2)[4^2-2(2m-2)]+48=0
=>(2m-2)(16-4m+4)+48=0
=>(2m-2)*(20-4m)+48=0
=>40m-8m^2-40+8m+48=0
=>-8m^2+48m+8=0
=>m=3+căn 10 hoặc m=3-căn 10
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d):\(\left(y\right)=\left(2m-3\right)x+4m-3\). Gọi H là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng (d). Tìm giá trị lớn nhất của h.
PT giao Ox: \(x=\dfrac{3-4m}{2m-3}\Leftrightarrow A\left(\dfrac{3-4m}{2m-3};0\right)\Leftrightarrow OA=\left|\dfrac{3-4m}{2m-3}\right|\)
PT giao Oy: \(y=4m-3\Leftrightarrow B\left(0;4m-3\right)\Leftrightarrow OB=\left|4m-3\right|\)
Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}=\dfrac{\left(2m-3\right)^2}{\left(4m-3\right)^2}+\dfrac{1}{\left(4m-3\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{4m^2-12m+10}{\left(4m-3\right)^2}\\ \Leftrightarrow OH^2=\dfrac{16m^2-24m+9}{4m^2-12m+10}\)
Đặt \(OH^2=t\)
\(\Leftrightarrow4m^2t-12mt+10t=16m^2-24m+9\\ \Leftrightarrow m^2\left(4t-16\right)-m\left(12t-24\right)+10t-9=0\)
Coi đây là PT bậc 2 ẩn m, PT có nghiệm
\(\Leftrightarrow\Delta=\left(12t-24\right)^2-4\left(10t-9\right)\left(4t-16\right)\ge0\\ \Leftrightarrow144t^2-576t+576-160x^2+784x-576\ge0\\ \Leftrightarrow-t^2+13t\ge0\\ \Leftrightarrow0\le t\le13\\ \Leftrightarrow OH\le\sqrt{13}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\) PT có nghiệm kép hay \(m=\dfrac{12t-24}{8t-32}=\dfrac{3t-6}{2t-8}=\dfrac{39-6}{26-8}=\dfrac{33}{18}\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường thẳng (dm) xác định bởi phương trình (m - 1)x + ( m+1)y = căn (2(m2 + 1 )) với m là tham số.Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (dm).
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d): mx + (2 – 3m)y + m – 1 = 0 1) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi số thực m. 2) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất. 3) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB cân.
Cho 2 đường thẳng
(d₁): y = \(\left(2+m\right)x+1\:\:\left(m\ne-2\right)\)
(d₂): y = \(\left(1+2m\right)x+2\:\left(m\ne-\dfrac{1}{2}\right)\)
a) Tìm m để (d₁) và (d₂) cắt nhau.
b) Với m = -1, vẽ (d₁) và (d₂) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng đó.
c) Tìm khoảng cách lớn nhất từ A(1;3) đến (d₁).
a: Để (d1) và (d2) cắt nhau thì \(2m+1\ne m+2\)
=>\(2m-m\ne2-1\)
=>\(m\ne1\)
b: Khi m=-1 thì (d1): \(y=\left(2-1\right)x+1=x+1\)
Khi m=-1 thì (d2): \(y=\left(1-2\right)x+2=-x+2\)
Vẽ đồ thị:
Phương trình hoành độ giao điểm là:
x+1=-x+2
=>x+x=2-1
=>2x=1
=>\(x=\dfrac{1}{2}\)
Thay x=1/2 vào y=x+1, ta được:
\(y=\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}\)
c:
(d1): y=(m+2)x+1
=>(m+2)x-y+1=0
Khoảng cách từ A(1;3) đến (d1) là:
\(d\left(A;\left(d1\right)\right)=\dfrac{\left|1\left(m+2\right)+3\cdot\left(-1\right)+1\right|}{\sqrt{\left(m+2\right)^2+\left(-1\right)^2}}\)
\(=\dfrac{\left|m\right|}{\sqrt{\left(m+2\right)^2+1}}\)
Để d(A;(d1)) lớn nhất thì m+2=0
=>m=-2
Vậy: \(d\left(A;\left(d1\right)\right)_{max}=\dfrac{\left|-2\right|}{\sqrt{\left(-2+2\right)^2+1}}=\dfrac{2}{1}=2\)
Trong mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d): y= (m+2)x+2m+3 .
a. Tìm m để (d) đi qua điểm A(2,5) .
b. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m thì (d) luôn đi qua một điểm cố định.
c. Tìm m để khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng (d) là lớn nhất.