Ta có:

\(x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

nên  \(x^2=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x^2=5+2\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow\) \(\left(x^2-5\right)^2=\left(2\sqrt{6}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x^4-10x^2+25=24\)

hay   \(x^4-10x^2+1=0\)

Đa thức  \(a^4-10a^2+1=0\)  là đa thức hệ số nguyên (bậc dương nhỏ nhất) nhận số \(x\)  làm nghiệm

\(x=3\sqrt{3}-2\Leftrightarrow x+2=3\sqrt{3}\Rightarrow\left(x+2\right)^2=\left(3\sqrt{3}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+4x+4=27\Leftrightarrow x^2+4x-23=0\)

Vậy \(f\left(x\right)=x^2+4x-23\)là một đa thức thỏa mãn ycbt. 

Xét f(x) là hằng số thì \(f\left(x\right)\equiv0\).

Xét f(x) khác hằng.

Ta có \(a^2=\sqrt{\dfrac{3}{4}}+\sqrt{\dfrac{4}{3}}+2\Rightarrow a^2-2=\sqrt{\dfrac{3}{4}}+\sqrt{\dfrac{4}{3}}\)

\(\Rightarrow\left(a^2-2\right)^2=\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{3}+2=\dfrac{49}{12}\Rightarrow a^4-4a^2-\dfrac{1}{12}=0 \).

Bằng cách đồng nhất hệ số, dễ dàng chứng minh được đa thức \(P\left(x\right)=x^4-4x^2-\dfrac{1}{12}\) bất khả quy trên \(\mathbb{Q}[x]\).

Do đó ta có P(x) là đa thức tối tiểu của a, tức mọi đa thức hệ số hữu tỉ khác nhận a là nghiệm đều chia hết cho P(x).

Vì f(x) là đa thức hệ số nguyên nên \(f\left(x\right)\) chia hết cho \(12P\left(x\right)=12x^4-48x^2-1\).

Vậy \(f\left(x\right)=K\left(x\right)\left(12x^4-48x^2-1\right)\), với \(K\in\mathbb Z[x]\) bất kì.

a) \(A=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}=1+\dfrac{4}{\sqrt{x}-2}\)

Để A nguyên thì 4 ⋮ √x - 2

\(\Rightarrow\sqrt{x}-2\inƯ\left(4\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-2\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left\{3;1;4;0;6;-2\right\}\)

Mà x \(\sqrt{x}\ge0\)

=> x thuộc {9; 1; 16; 0; 36}

b) 

\(a^3=140+3.a\)

Vậy a nghiệm của  phương trình.x^3-3x-140 =0

nhầm dấu

a^3=140-3a

đa thức cần tim là x^3+3x-140

nhắc lại HĐT: (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b) 

\(a=\sqrt[3]{70-\sqrt{4901}}+\sqrt[3]{70+\sqrt{4901}}\)

\(a^3=\left(\sqrt[3]{70-\sqrt{4901}}+\sqrt[3]{70+\sqrt{4901}}\right)^{^3}\)

\(a^3=\left(70-\sqrt{4901}\right)+\left(70+\sqrt{4901}\right)+3.\left(\sqrt[3]{70^2-4901}\right).a\)

\(a^3=70+70+3.\sqrt[3]{-1}.a=140-3a\)

lop 7 lam gi co nghiem voi da thuc ha ban

Đề thi HSG lớp 7 đó bạn

2)

\(A=\dfrac{5\sqrt{a}-3}{\sqrt{a}-2}+\dfrac{3\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}-\dfrac{a^2+2\sqrt{a}+8}{a-4}\)

    \(=\dfrac{\left(5\sqrt{a}-3\right)\left(\sqrt{a}+2\right)+\left(3\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-2\right)-a^2-2\sqrt{a}-8}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}\)

    \(=\dfrac{5a+10\sqrt{a}-3\sqrt{a}-6+3a-6\sqrt{a}+\sqrt{a}-2-a^2-2\sqrt{a}-8}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}\)

    \(=\dfrac{-a^2+8a-16}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}=\dfrac{-\left(a-4\right)^2}{a-4}=4-a\)

1: Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}3x-y=2m-1\\x+y=3m+2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x=5m+1\\x+y=3m+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5m+1}{4}\\y=3m+2-x\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5m+1}{4}\\y=\dfrac{12m+8-5m-1}{4}=\dfrac{7m+7}{4}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x^2+2y^2=9\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{5m+1}{4}\right)^2+2\cdot\left(\dfrac{7m+7}{4}\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{25m^2+10m+1}{16}+\dfrac{2\cdot\left(49m^2+98m+49\right)}{16}=9\)

\(\Leftrightarrow25m^2+10m+1+98m^2+196m+98-144=0\)

\(\Leftrightarrow123m^2+206m-45=0\)

Đến đây bạn tự làm nhé, chỉ cần giải phương trình bậc hai bằng delta thôi