Let \(a,b,c\ge0\) such that \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ne0\) . Prove that:
\(a^3+b^3+c^3+3abc-ab\left(a+b\right)-bc\left(b+c\right)-ca\left(c+a\right)\ge abc\left(\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}-3\right)\)
Những câu hỏi liên quan
Let a,b,c,k be positive real numbers such that kleft(ab+bc+caright)+2abcle k^3 . Prove that:left(1right)kleft(a+b+cright)ge2left(ab+bc+caright)left(2right)kleft(a^3+b^3+c^3right)ge2left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2right)left(3right)kleft(a^{2n-1}+b^{2n-1}+c^{2n-1}right)ge2left(a^nb^n+b^nc^n+c^na^nright) left(nge0;nin Rright)
Đọc tiếp
Let \(a,b,c,k\) be positive real numbers such that \(k\left(ab+bc+ca\right)+2abc\le k^3\) . Prove that:
\(\left(1\right)k\left(a+b+c\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\left(2\right)k\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\left(3\right)k\left(a^{2n-1}+b^{2n-1}+c^{2n-1}\right)\ge2\left(a^nb^n+b^nc^n+c^na^n\right)\) \(\left(n\ge0;n\in R\right)\)
mày bị điên rồi hả câu hỏi thế này làm gì có người giải được
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
Let a,b,c be positive numbers with abc = 1. Prove that
\(a^3+b^3+c^3+2\left[\left(ab\right)^3+\left(bc\right)^3+\left(ca\right)^3\right]\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
9 tháng 4 2021 lúc 23:11
lamf tis baats ddawngr thwcs :))
Let a,b,c be positive real numbers. Prove that : \(\frac{1}{a\left(b+1\right)}+\frac{1}{b\left(c+1\right)}+\frac{1}{c\left(a+1\right)}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)}\)
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{x}{y}k;\frac{y}{z}k;\frac{z}{x}k\right)\) \(k\inℝ^+\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(\frac{1}{\frac{x}{y}k\left(\frac{y}{z}k+1\right)}+\frac{1}{\frac{y}{z}k\left(\frac{z}{x}k+1\right)}+\frac{1}{\frac{z}{x}k\left(\frac{x}{y}k+1\right)}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\frac{x}{y}k\cdot\frac{y}{z}k\cdot\frac{z}{x}k}\left(1+\sqrt[3]{\frac{x}{y}k\cdot\frac{y}{z}k\cdot\frac{z}{x}k}\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{yz}{xk\left(yk+z\right)}+\frac{zx}{yk\left(zk+x\right)}+\frac{xy}{zk\left(xk+y\right)}\ge\frac{3}{k\left(1+k\right)}\) (D)
Ta có: \(\frac{yz}{xk\left(yk+z\right)}+\frac{zx}{yk\left(zk+x\right)}+\frac{xy}{zk\left(xk+y\right)}\)
\(=\frac{\left(yz\right)^2}{xyzk\left(yk+z\right)}+\frac{\left(zx\right)^2}{xyzk\left(zk+x\right)}+\frac{\left(xy\right)^2}{xyzk\left(xk+y\right)}\)
\(\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{xyzk\left(xk+yk+zk+x+y+z\right)}\) (Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức)
\(\ge\frac{3\left(xyz^2+xy^2z+x^2yz\right)}{xyzk\left(x+y+z\right)\left(k+1\right)}=\frac{3xyz\left(x+y+z\right)}{xyzk\left(x+y+z\right)\left(k+1\right)}=\frac{3}{k\left(k+1\right)}\)
=> BĐT (D) đúng => đpcm
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
Afrac{a^2+bc}{b+ac}+frac{b^2+ca}{c+ab}+frac{c^2+ab}{a+bc}frac{3left(a^2+bcright)}{left(a+b+cright)b+3ac}+frac{3left(b^2+caright)}{left(a+b+cright)c+3ab}+frac{3left(c^2+abright)}{left(a+b+cright)a+3bc}gefrac{3left(a^2+bcright)}{left(a^2+bcright)+left(b^2+caright)+left(c^2+abright)}+frac{3left(b^2+caright)}{left(a^2+bcright)+left(b^2+caright)+left(c^2+abright)}+frac{3left(c^2+abright)}{left(a^2+bcright)+left(b^2+caright)+left(c^2+abright)}3
Đọc tiếp
\(A=\frac{a^2+bc}{b+ac}+\frac{b^2+ca}{c+ab}+\frac{c^2+ab}{a+bc}\)
\(=\frac{3\left(a^2+bc\right)}{\left(a+b+c\right)b+3ac}+\frac{3\left(b^2+ca\right)}{\left(a+b+c\right)c+3ab}+\frac{3\left(c^2+ab\right)}{\left(a+b+c\right)a+3bc}\)
\(\ge\frac{3\left(a^2+bc\right)}{\left(a^2+bc\right)+\left(b^2+ca\right)+\left(c^2+ab\right)}+\frac{3\left(b^2+ca\right)}{\left(a^2+bc\right)+\left(b^2+ca\right)+\left(c^2+ab\right)}+\frac{3\left(c^2+ab\right)}{\left(a^2+bc\right)+\left(b^2+ca\right)+\left(c^2+ab\right)}=3\)
19 tháng 10 2019 lúc 17:49
1. cho 0 ale ble c . Cmr: frac{2a^2}{b^2+c^2}+frac{2b^2}{c^2+a^2}+frac{2c^2}{a^2+b^2}lefrac{a^2}{b}+frac{b^2}{c}+frac{c^2}{a}
2. cho a,b,cge0. cmr: a^2+b^2+c^2+3sqrt[3]{left(abcright)^2}ge2left(ab+bc+caright)
3. a,b,c0. Cmr: sqrt{left(a^2b+b^2c+c^2aright)left(ab^2+bc^2+ca^2right)}ge abc+sqrt[3]{left(a^3+abcright)left(b^3+abcright)left(c^3+abcright)}
4. a,b,c0. Tìm Min Pleft(frac{a}{a+b}right)^4+left(frac{b}{b+c}right)^4+left(frac{c}{c+a}right)^4
Đọc tiếp
1. cho \(0< a\le b\le c\) . Cmr: \(\frac{2a^2}{b^2+c^2}+\frac{2b^2}{c^2+a^2}+\frac{2c^2}{a^2+b^2}\le\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)
2. cho \(a,b,c\ge0\). cmr: \(a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
3. \(a,b,c>0.\) Cmr: \(\sqrt{\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\ge abc+\sqrt[3]{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\)
4. \(a,b,c>0\). Tìm Min \(P=\left(\frac{a}{a+b}\right)^4+\left(\frac{b}{b+c}\right)^4+\left(\frac{c}{c+a}\right)^4\)
2/ Không mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\).
Nếu abc = 0 thì có ít nhất một số bằng 0. Giả sử c = 0. BĐT quy về: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b; c = 0.
Nếu \(abc\ne0\). Chia hai vế của BĐT cho \(\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)
BĐT quy về: \(\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^4}{b^2c^2}}+3\ge2\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{ab}{c^2}}\)
Đặt \(\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=x;\sqrt[3]{\frac{b^2}{ca}}=y;\sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}}=z\Rightarrow xyz=1\)
Cần chúng minh: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)\) (1)
Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số x - 1, y - 1, z - 1 tồn tại ít nhất 2 số có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow2xyz\ge2xz+2yz-2z\). Thay vào (1):
\(VT\ge x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2z+1\)
\(=\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2+2xy+2xz+2yz\)
\(\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Vậy (1) đúng. BĐT đã được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoán vị.
Check giúp em vs @Nguyễn Việt Lâm, bài dài quá:(
Cách khác câu 2:Đặt \(\left(a,b,c\right)=\left(a^3,b^3,c^3\right)\)
Có: \(VT-VP=\frac{1}{6} \sum\, \left( 3\,{a}^{2}+4\,ab+2\,ac+3\,{b}^{2}+2\,bc \right) \left( a -b \right) ^{2} \left( a+b-c \right) ^{2}+\frac{2}{3} \sum \,{a}^{2}{b}^{2} \left( a -b \right) ^{2} \geq 0\)
Bất đẳng thức trên vẫn đúng trong trường hợp $a,b,c$ là các số thực.
Thật vậy ta chỉ cần chứng minh$:$
\(\frac{1}{6}\sum \left( 3\,{a}^{2}+4\,ab+2\,ac+3\,{b}^{2}+2\,bc \right) \left( a -b \right) ^{2} \left( a+b-c \right) ^{2} \geq 0\)
Chú ý \(\sum\left(a-b\right)\left(a+b-c\right)=0\)
Ta đưa về chứng minh: \(\sum (3\,{a}^{2}+4\,ab+2\,ac+3\,{b}^{2}+2\,bc) \geq 0 \,\,\,\,\,\,(1)\)
Và \(\sum \left( 3\,{a}^{2}+2\,ab+4\,ac+2\,bc+3\,{c}^{2} \right) \left( 3\,{a} ^{2}+4\,ab+2\,ac+3\,{b}^{2}+2\,bc \right) \geq 0 \,\,\,\,(2)\)
$(1)$ dễ chứng minh bằng tam thức bậc $2$.
Chứng minh $(2):$
$$\text{VT} = {\frac {196\, \left( a+b+c \right) ^{4}}{27}} + \sum{\frac { \left( a-b \right) ^{2} \left( 47\,a+26\,c+47\,b \right) ^{2}
}{2538}}+\sum {\frac {328\,{c}^{2} \left( a-b \right) ^{2}}{141}} \geq 0$$
Xong.
Đúng 0
Bình luận (0)
Vũ Minh Tuấn, @Nk>↑@, Nguyễn Văn Đạt, Băng Băng 2k6, tth, Nguyễn Thị Diễm Quỳnh, Lê Thị Thục Hiền,
Aki Tsuki, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma
giúp e vs ạ! cần gấp! thanks nhiều!
Xem thêm câu trả lời
Cho ab + bc + ca = 3abc.
CMR \(\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)+\left(b+c\right)\left(b+a\right)+\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{3}{2}\)
cố quá = quá cố
Cho \(a;b;c\ge0.\) Cm:
1) \(a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+bc\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+ca\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}\)
2) \(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\ge a\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+b\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}+c\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
@Cool Kid:a^3+b^3+c^3+3abcgeSigma absqrt{2left(a^2+b^2right)}LeftrightarrowSigmafrac{1}{2}left(a+b-cright)left(a-bright)^2geSigmafrac{ableft(a-bright)^2}{sqrt{2left(a^2+b^2right)}+a+b}Hay một BĐT mạnh (và đẹp:v) hơn là: LeftrightarrowSigmafrac{1}{2}left(a+b-cright)left(a-bright)^2geSigmafrac{ableft(a-bright)^2}{2left(a+bright)}Ta cần chứng minh: VT-VPSigmafrac{left(a+b-cright)^2left(a-bright)^2}{2left(a+bright)}-frac{left(a-bright)^2left(b-cright)^2left(c-aright)^2}{2left(a+bright)left(b+cright)...
Đọc tiếp
@Cool Kid:
\(a^3+b^3+c^3+3abc\ge\Sigma ab\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{1}{2}\left(a+b-c\right)\left(a-b\right)^2\ge\Sigma\frac{ab\left(a-b\right)^2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+a+b}\)
Hay một BĐT mạnh (và đẹp:v) hơn là:
\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{1}{2}\left(a+b-c\right)\left(a-b\right)^2\ge\Sigma\frac{ab\left(a-b\right)^2}{2\left(a+b\right)}\)
Ta cần chứng minh: \(VT-VP=\Sigma\frac{\left(a+b-c\right)^2\left(a-b\right)^2}{2\left(a+b\right)}-\frac{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)
Giả sử \(a\ge c\ge b\) và đặt \(a=b+u+v,c=b+v\)
Bất đẳng thức này đúng theo Cauchy-Schwawrz:
\(VT-VP\ge\frac{4\left(c+a-b\right)^2\left(c-a\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}-\frac{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)
Last inequality is: https://imgur.com/tRsHOfr (mình không gửi ảnh được nên gửi link vậy!)
Done!
Áp dụng BĐT Cô-si
Cho a,b,c\(\ge0\). Chứng minh các BĐT sau
a. \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
b. \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c,vớia,b,c\ge0\)
a)Áp dụng Bđt Cô si ta có:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Cộng theo vế 2 bđt trên ta có:
\(3\ge\frac{3\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)}{\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
Dấu = khi a=b=c
b)Áp dụng Bđt Cô-si ta có:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc^2a}{ab}}=2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca^2b}{bc}}=2a\)
\(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{b^2ac}{ac}}=2b\)
Cộng theo vế 3 bđt trên ta có:
\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
Đấu = khí a=b=c
Đúng 0
Bình luận (1)