Bài 1:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

$(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 1$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài 2: 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^2+4b^2+9c^2)(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9})\geq (a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow 2015.\frac{49}{36}\geq (a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow \frac{98735}{36}\geq (a+b+c)^2$

$\Rightarrow a+b+c\leq \frac{7\sqrt{2015}}{6}$ chứ không phải $\frac{\sqrt{14}}{6}$ :''>>

Bài 3:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$2=(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2\Rightarrow a+b\leq \sqrt{2}$

$(a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b})^2\leq (a^2+b^2)(1+a+1+b)$

$=2+a+b\leq 2+\sqrt{2}$

$\Rightarrow a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Đẳng thức quen thuộc: \(a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\) và tương tự cho các mẫu số còn lại

Ta có:

\(\sum\dfrac{1}{a^2+1}=\sum\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

Mặt khác:

\(2\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=\left[a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)\right]\left(a+b+c\right)\)

\(\ge\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2\) (Bunhiacopxki)

\(\Rightarrow\sum\dfrac{1}{a^2+1}\ge\dfrac{\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(=\left(\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\right)^2\)

\(=\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\right)^2\)

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{3}{2}\)

Đúng theo AM-GM:

\(\sum\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\sum\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Ta có: \(P=ab+\dfrac{4}{ab}+4\ge2\sqrt{ab.\dfrac{4}{ab}+4}=8\)

Dấu '=' xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}ab=2\\1\le a,b\le2\end{matrix}\right.\)

Lại có: \(1\le a\le2,1\le b\le2\)

\(\Rightarrow1\le ab\le4\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(ab-4\right)\le0\Leftrightarrow\left(ab\right)^2\le5ab-4\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{\left(ab\right)^2+4ab+4}{ab}\le\dfrac{5ab-4+4ab+4}{ab}=9\)

Dấu '=' xảy ra <=> \(\left[{}\begin{matrix}ab=1\\ab=4\end{matrix}\right.\) và \(1\le a,b\le2\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b=2\\a=b=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(Min_P=8\Leftrightarrow ab=2;1\le a,b\le2\)

\(Max_P=9\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b=1\\a=b=2\end{matrix}\right.\)

1.

- Với \(a+b\ge4\Rightarrow A\le0\)

- Với \(a+b< 4\Rightarrow4-a-b>0\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}.b.\left(4-a-b\right)\)

\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+b+4-a-b\right)^4=4\)

\(A_{max}=4\) khi \(\left(a;b\right)=\left(2;1\right)\)

2.

\(P=a+\dfrac{1}{2}.a.2b\left(1+2c\right)\le a+\dfrac{a}{8}\left(2b+1+2c\right)^2\)

\(P\le a+\dfrac{a}{8}\left(7-2a\right)^2=\dfrac{1}{8}\left(4a^3-28a^2+57a-36\right)+\dfrac{9}{2}\)

\(P\le\dfrac{1}{8}\left(a-4\right)\left(2a-3\right)^2+\dfrac{9}{2}\le\dfrac{9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3}{2};1;\dfrac{1}{2}\right)\)

Câu 3 bạn xem lại đề, mình có thể chắc chắn với bạn là đề sai

Ví dụ bạn cho \(x=98,y=100\) thì vế trái chỉ lớn hơn 8 một chút

Đề đúng phải là: \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}\ge12\)

Nếu câu 3 đề là \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}\ge12\)

Ta có:

\(VT=2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}=\dfrac{x^2+y^2}{xy}+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}+2\)

\(VT=\dfrac{x^2+y^2-2xy+2xy}{xy}+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}+2\)

\(VT=\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy}+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}+4\ge2\sqrt{\dfrac{16xy\left(x-y\right)^2}{xy\left(x-y\right)^2}}+4=12\)

Đề bài hình như bị sai em, thay điểm rơi ko thỏa mãn

Biểu thức là \(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\) mới đúng

em cũng nghĩ thế mới dùng đc BDT AM-GM 3 số đúng ko thầy :)

Bài này đã có ở đây:

Cho abc=1CMR\(\dfrac{a+3}{\left(a+1\right)^2}+\dfrac{b+3}{\left(b+1\right)^2}+\dfrac{c+3}{\left(c+1\right)^2}\ge3\) - Hoc24